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--- quaternions:definitions [2020/08/02 15:42] – [Biquaternions] admin
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 ====== Quaternions ======
-Un **quaternion** est un élément du corps gauche $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que $e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
+Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que ${e_1}^{2}={e_2}^{2}={e_3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
 Un quaternion $Q$ peut s'écrire sous la forme $q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ où les $q_{i}$ sont des réels.
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 Si un quaternion est noté par une lettre, disons $P$, ses composantes seront en général notées $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}$.
-===== Propriétés des unités quaternioniennes =====
+===== Convention de notation =====
-| $e_1 e_2 = e_3$ |  |
+Étant donné le nombre limité de lettres romaines et grecques majuscules et minuscules il est impossible de prendre une convention qui permette de distinguer en toutes circonstances les entiers, les réels, les complexes, les quaternions, les biquaternions, les variables, les constantes, etc. Ce d'autant plus que les habitudes des mathématiciens et des physiciens divergent.
-| $e_2 e_3 = e_1$ |  |
-| $e_3 e_1 = e_2$ |  |
+Dans les articles mathématiques les quaternions sont en général désignés par des lettres romaines minuscules $p,q,r,\ldots$ alors que les physiciens utilisent de préférence des majuscules $P,Q,R,\ldots$.
-| $e_i e_j = -e_j e_i$ | pour $i,j \in \{1,2,3 \}$ et  $i \ne j$ |
+Dans ce formulaire nous utiliserons généralement la notation des physiciens. Les lettres romaines minuscules pour les réels et les majuscules pour les quaternions.
+===== Remarque cruciale =====
+En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaterniques habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.
+Mais surtout, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}q_i e_{i}$, voire $q_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein.
+L'expérience montre que cette manière de noter les unités simplifie considérablement les calculs, et réduit par conséquent les risques d'erreur.
+===== Propriétés des unités quaternioniennes =====
-**Remarque.** En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaternionniennes habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.
+^ Transformation ^ Formule ^
+| 1,2 $\to$ 3 | $e_1 e_2 = e_3$ |
+| 2,3 $\to$ 1 | $e_2 e_3 = e_1$ |
+| 3,1 $\to$ 2 | $e_3 e_1 = e_2$ |
+| anti-symétrie | $e_i e_j = -e_j e_i$  $\quad i,j \in \{1,2,3 \}$ et  $i \ne j$ |
-D'autre part, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}ae_{i}$, voire $a_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein.
 ===== Opérations et fonctions de base =====
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 | partie scalaire        | $\mathbb{S}(Q)$              | $q_{0}$ |
 | partie vectorielle     | $\mathbb{V}(Q)$ ou $\vec{Q}$ | $q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ |
-| conjugué quaternionien | $\overline{Q}$               | $\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(Q)$ |
+| conjugué quaternionien | $\overline{Q}$               | $\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(Q) = q_0 -q_1 e_1 - q_2 e_2 - q_3 e_3$ |
 | addition               | $P+Q$                        | $\sum(p_{i}+q_{i})e_{i}$ |
 | multiplication         | $PQ$                         | $\sum_{i,j}(p_{i}q_{j})e_{i}e_{j}$ |
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 ===== Identités remarquables et calculs =====
+^ Opération ^ Formule ^
 | extraction de la partie scalaire    | $\mathbb{S}(Q)=\frac{1}{2}(Q+\overline{Q})$ |
 | extraction de la partie vectorielle | $\mathbb{V}(Q)=\frac{1}{2}(Q-\overline{Q})$ |
-| multiplication                      | $PQ=\mathbb{S}(P)\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(P)\cdot\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(P)\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(Q)\mathbb{V}(P)+\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q)$ <html><br></html>//$\cdot$ : produit scalaire, $\wedge$: produit vectoriel de $\mathbb{R}^3$//|
+| détermination d'un $q_n$            | $q_{n}=\mathbb{S}(Q\overline{e_{n}})$ |
+| multiplication                      | $PQ=\mathbb{S}(P)\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(P)\cdot\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(P)\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(Q)\mathbb{V}(P)+\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q)$ \\ //où $\cdot$ est le produit scalaire et $\wedge$ le produit vectoriel de $\mathbb{R}^3$//|
 | :::                                 | $PQ=p_{0}q_{0}-\vec{P}\cdot\vec{Q}+p_{0}\vec{Q}+q_{0}\vec{P}+\vec{P}\wedge\vec{Q}$ |
-| non commutativité                   | $PQ - QP = \mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q) - \mathbb{V}(Q)\wedge\mathbb{V}(P) = 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ |
 | carré                               | $Q^{2}=2\mathbb{S}(Q)Q-\left|Q\right|^{2}$  |
 | si $Q=\vec{V}$ est purement vectoriel) | $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$  |
+| non commutativité                   | $ QP = PQ - 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ |
+| :::                                 | $ QP = PQ - 2\mathbb{V}(P)\mathbb{V}(Q) - 2\mathbb{V}(P) \cdot \mathbb{V}(Q)$ |
+| :::                                 | $e_iQ = Q\overline{e_i} = -Qe_i \quad i=1,2,3$ |
 | conjugaisons                        | $\overline{(\overline{Q})}=Q$ |
 | :::                                   | $\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$ |
 | :::                                 | $\overline{PQ}=\overline{Q}\ \overline{P}$ |
-| conjugaison à partir des unités     | $\overline{Q}=-\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{3}{e_{i}Qe_{i}}\text{}$ |
+| conjugaison à l'aide des unités     | $\overline{Q}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{3}{e_{n}Qe_{n}}\text{}$ |
+| partie scalaire                     | $\mathbb{S}(Q) = -\frac{1}{4}\sum_{n=0}^3{e_n Q \overline{e_n}}$ \\ que l'on peut ensuite combiner avec la détermination des $q_n$ |
 | norme                               | $\left|Q\right|=\sqrt{q_{0}^{2}+|\vec{Q}|^{2}}$ |
+| :::                                 | $|e_i| = 1 \quad (i=0,3)$ |
 | :::                                 | $|P+Q]^{2}=|P|^{2}+|Q|^{2}+2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ |
-| inversion ($Q$ non nul)             | $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{Q\overline{Q}}$ |
+| :::                                 | $|PQ| = |P||Q|$ |
-| :::                                 | $=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$ |
+| inversion ($Q$ non nul)             | $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$ |
-| inversion et conjugaison            | $Q^{-1}==\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_0^{2}+q_1^{2}+q_2^{2}+q_3^{2}}\ \overline{Q}$ |
+| inversion des unités                | $e_i^{-1} = \overline{e_i} \qquad i=0,...,3$ |
-| :::                                 | $\overline{Q^{-1}}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
+| inversion et conjugaison            | $\overline{Q^{-1}}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
 | :::                                 | $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
 | :::                                 | $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $ |
-| exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(\mathbb{V}(Q))+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(\mathbb{V}(Q))\right) $ |
+| exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(|\mathbb{V}(Q)|)+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(|\mathbb{V}(Q)|)\right) $ \\ [[#Preuve. Expression de l'exponentielle|$\to$ Preuve]] |
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 \end{array}\right)$$
-est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2,\mathbb{C}) $
+est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2,\mathbb{C}) $. Autrement dit, on peut représenter tout quaternion par une matrice $2 \times 2$ complexe de la forme ci-dessus. Les physiciens auraient tendance à préférer le forme
+$$Q \mapsto \left(\begin{array}{cc}
+q_{0}+iq_3 & q_1+iq_2\\
+-q_1+iq_2 & q_{0}-iq_3
+\end{array}\right)$$
-  * l'addition et la multiplication quaternionniennes correspondent à l'addition et à la multiplication matricielles
+  * l'addition et la multiplication quaternioniennes correspondent à l'addition et à la multiplication matricielles
   * la conjugaison correspond à la transposition conjugaison des matrices $2 \times 2$ complexes
 ==== Forme exponentielle ====
-Pour tout quaternion $Q$ on a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) $\vec{u}$ et $0\le\theta<2\pi$ tels que
+À tout quaternion $Q = q_0 + \vec{Q}$ avec $\vec{Q} \ne  0$  on peut associer a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) et colinéaire à $\vec{Q}$, noté $\vec{u}$, et  $0\le\theta<2\pi$ tel que
 $$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$
-et
-  * $\mathbb{S}(Q)=|Q|\cos(\theta) $
+Les transformations vers et de la forme exponentielle se calculent ainsi:
-  * $\mathbb{V}(Q)=\vec{u}|\mathbb{V}(Q)|=\vec{u}|Q|\sin(\theta)|$
+| mise sous forme exponentielle | $Q = |Q|e^{\vec{u}\theta}$ \\ avec $\theta = \arccos(q_0/|Q|)$, $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|\sin\theta)$ \\ [[#Preuve. Mise sous forme exponentielle|$\to$ Preuve]]| Si  $\vec{Q} = 0$  alors  $\vec{u}$ peut être choisi arbitrairement. \\ Par exemple,  $Q= –1 = e^{(2n+1)\pi \vec{u} }$ pour $n$ un entier quelconque et $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire quelconque.  |
+| mise sous forme de composantes | $\alpha e^{\vec{u}\theta} = \alpha (\cos\theta + \vec{u}\sin\theta$) |
+| mise sous forme scalaire $\times$ quaternion unitaire | $Q = |Q|(\cos\theta + \vec{u}\sin\theta)$ \\ avec $\theta = \arccos(q_0/|Q|)$, $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|\sin\theta)$ |
+| pour un quaternion unitaire | $Q = \cos\theta + \vec{u}\sin\theta = e^{\vec{u}\theta}$ |
+==== Rotations ====
-====== Biquaternions ======
+Un quaternion $R = \cos(\theta/2) + \vec{u}\sin(\theta/2)$ (de norme 1) représentant un "turn", c'est-à-dire un opérateur qui "fait tourner" vecteurs et spineurs.
-Un **biquaternion** est un élément de l'anneau $\mathbb{B}$ qui est l'extension des complexes engendrée par les quaternioniennes $e_1, e_2, e_3$.
-Un biquaternion $Z$ peut s'écrire sous la forme $z_{0}+z_{1}e_{1}+z_{2}e_{2}+z_{3}e_{3}$ où les $z_{i}$ sont des nombres complexes. Si on regroupe les parties réelles et imaginaires des $z_{i}$, un biquaternion peut s'écrire sous la forme $A+Bi$ où $A$ et $B$ sont des quaternions.
+L'opérateur de rotation d'un trivecteur $\vec{v}$ de $\mathbb{R}^3$ d'un angle $\theta$ autour de l'axe $\vec{u}$  s'écrit avec deux turns :
+$$R \vec{v} \overline{R}.$$
+Pour cette raison le paramètre dans le turn s'écrit avec $\theta/2$ (et pour que l'angle de rotation du vecteur puisse être de 360°, la graduation de $\theta$ doit aller de 0° à 720°)
-Les opérations $\mathbb{S}$, $\mathbb{V}$, conjugaison, addition, multiplication sont définies de la même manière que pour les quaternions, en remplaçant les opérations sur les réels par leur correspondant sur les complexes.
-On définit deux types de conjugaisons supplémentaires:
+| quaternion utilisé pour une rotation d'angle $\theta$ autour de l'axe $\vec{u}$ \\ (dans le sens horaire si on regarde dans la direction de $\vec{u}$) | $R = \cos(\theta/2) + \vec{u}\sin(\theta/2)$ \\ avec $\vec{u}$ est un quaternion vectoriel unitaire |
+| calcul de la rotation d'un vecteur $\vec{v}$ | $ \vec{v'} = R\vec{v}\overline{R} $ |
-| conjugué imaginaire | $Z^{*}$ | $\sum z_{i}^{*}e_{i}$ |
-| conjugué hermitien  | $Z^{+}$     | $\overline{Z^{*}}.$ |
-où $z_{i}^{*}$ désigne la conjugaison complexe.
-===== Propriétés =====
-Si |Z|=0 alors il existe q\in\mathbb{H} tel que Z=q\sigma avec \sigma=\frac{1}{2}(1+i\vec{u}) où \vec{u} est vectoriel unitaire.
+-----
+-----
-Quel que soit le choix de \vec{u} dans \sigma, tout biquaternion peut s'écrire Z=Q_{1}\sigma+Q_{2}\overline{\sigma} avec Q_{1} et Q_{2} dans \mathbb{H}.
+===== Preuves =====
-===== Convention de notation =====
+==== Preuve. Expression de l'exponentielle ====
-Étant donné le nombre limité de lettres romaines et grecques majuscules et minuscules il est impossible de prendre une convention qui permette de distinguer en toutes circonstances les entiers, les réels, les complexes, les quaternions, les biquaternions, les variables, les constantes, etc. Ce d'autant plus que les habitudes des mathématiciens et des physiciens divergent.
+Soit $Q = s + \vec{v}$ ou $s = \mathbb{S}(Q)$ et $\vec{v} = \mathbb{V}({Q})$.
-Dans les articles mathématiques les quaternions sont en général désignés par des lettres romaines minuscules $p,q,r,\ldots$ alors que les physiciens utilisent de préférence des majuscules $P,Q,R,\ldots$.
+On veut prouver :
+\[
+\exp(Q) = \exp(s) \left( \cos(|\vec{v}|) + \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \sin(|\vec{v}|) \right).
+\]
+Note: Si \( \vec{v} = \vec{0} \), alors \( \exp(Q) = \exp(s) \), ce qui est consistant avec la limite \( |\vec{v}| \to 0 \).
-Dans ce formulaire nous utiliserons généralement la notation des physiciens. Les lettres romaines minuscules pour les réels et les majuscules pour les quaternions.
+L'exponentielle est définie par
+\[
+\exp(Q) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{Q^k}{k!}.
+\]
+== Propriété importante d'un quaternion purement vectoriel $\vec{v}$ :  ==
+\[ \vec{v}^2 = -|\vec{v}|^2 .\] (Provient de la formule de multiplication: \( \vec{v}_1 \vec{v}_2 = -\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 + \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 \), donc \( \vec{v}^2 = -|\vec{v}|^2 \).)
+Comme \( s \) est scalaire et \( \vec{v} \) est vectoriel ils commutent \( s \vec{v} = \vec{v} s \).
+Donc on peut factoriser l'exponentielle selon la formule habituelle
+\[
+\exp(Q) = \exp(s + \vec{v}) = \exp(s) \exp(\vec{v}).
+\]
+Nous devons donc calculer \( \exp(\vec{v}) \).
+Soit \( \vec{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \), de sorte que \( \vec{u} \) soit un vecteur unitaire et \( \vec{v} = |\vec{v}| \vec{u} \). Alors, on a :
+\[
+\exp(\vec{v}) = \exp(|\vec{v}| \vec{u}).
+\]
+Maintenant, notons que \( \vec{u} \) est un quaternion pur unitaire, donc \( \vec{u}^2 = -1 \).
+En utilisant la série entière :
+\[
+\exp(|\vec{v}| \vec{u}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(|\vec{v}| \vec{u})^k}{k!}.
+\]
+On sépare les puissances paires et impaires dans la série:
+- Pour \( k = 2m \) pair : \[(|\vec{v}| \vec{u})^{2m} = (|\vec{v}|^{2m} (\vec{u}^{2})^m = (|\vec{v}|^{2m} (-1)^m = (-1)^m |\vec{v}|^{2m}.\]
+- Pour les puissances impaires \( k = 2m+1 \): \[(|\vec{v}| \vec{u})^{2m+1} = |\vec{v}|^{2m+1} \vec{u} (\vec{u}^2)^m = |\vec{v}|^{2m+1} \vec{u} (-1)^m.\]
+Par conséquent :
+\[
+\exp(|\vec{v}| \vec{u}) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m}}{(2m)!} + \vec{u} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m+1}}{(2m+1)!}.
+\]
+On reconnait la série de Taylor pour le cosinus et le sinus :
+\[
+\cos(|\vec{v}|) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m}}{(2m)!}, \quad \sin(|\vec{v}|) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m+1}}{(2m+1)!}.
+\]
+Ainsi,
+\[
+\exp(\vec{v}) = \exp(|\vec{v}| \vec{u}) = \cos(|\vec{v}|) + \vec{u} \sin(|\vec{v}|) = \cos(|\vec{v}|) + \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\sin(|\vec{v}|)
+\]
+Comme \( \exp(Q) = \exp(s) \exp(\vec{v}) \), on a:
+\[
+\exp(Q) = \exp(s) \left( \cos(|\vec{v}|) + \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \sin(|\vec{v}|) \right).
+\]
+$\square$
+==== Preuve. Mise sous forme exponentielle ====
+C'est en fait un corollaire du résultat précédent.
+On cherche $s, \vec{u}, \theta$ tels que $Q = se^{\vec{u}\theta}$ avec $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire.
+Par le résultat précédent
+$$se^{\vec{u}\theta} = s e^{\mathbb{S}( \vec{u}\theta ) }  \left( \cos(|\vec{u}\theta|) + \frac{\vec{u}\theta}{|\vec{u}\theta|}\sin(|\vec{u}\theta|)   \right) $$
+Comme $\vec{u}\theta$ est purement vectoriel et $|\vec{u}| = 1$ on obtient
+$$se^{\vec{u}\theta} = s  \left( \cos(\theta) + \vec{u} \sin(\theta)   \right) $$
+Par égalité des parties scalaires et vectorielles on doit donc avoir
+$$\begin{array}{rcl}
+\mathbb{S}(Q) & = & s \cos(\theta) \\
+\mathbb{V}(Q) & = & s \vec{u} \sin(\theta)
+\end{array}$$
+d'où $$\theta = \arccos \left( \frac{\mathbb{S}(Q)}{s} \right) \text{ et } \vec{u} = \frac{\mathbb{V}(S)}{s\sin(\theta)} $$
+D'autre part, en utilisant $|P+Q|^2 = |P|^2 + |Q|^2 +2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ on trouve
+$$  | \cos(\theta) + \vec{u} \sin(\theta) | = 1   $$
+D'où, à partir de $Q = s  \left( \cos(\theta) + \vec{u} \sin(\theta)   \right) $, on obtient, en prenant la norme à gauche et à droite : $$s = |Q|$$.
+$\square$