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quaternions:definitions

Formulaire

Quaternions

Un quaternion est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que ${e_1}^{2}={e_2}^{2}={e_3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.

Un quaternion $Q$ peut s'écrire sous la forme $q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ où les $q_{i}$ sont des réels.

Si un quaternion est noté par une lettre, disons $P$, ses composantes seront en général notées $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}$.

Remarque. En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaterniques habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.

D'autre part, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}ae_{i}$, voire $a_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein.

Propriétés des unités quaternioniennes

$e_1 e_2 = e_3$
$e_2 e_3 = e_1$
$e_3 e_1 = e_2$
$e_i e_j = -e_j e_i$ pour $i,j \in \{1,2,3 \}$ et $i \ne j$

Opérations et fonctions de base

Pour des quaternions $Q=q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ et $P=p_{0}+p_{1}e_{1}+p_{2}e_{2}+p_{3}e_{3}$ on définira

Opération Notation Définition
partie scalaire $\mathbb{S}(Q)$ $q_{0}$
partie vectorielle $\mathbb{V}(Q)$ ou $\vec{Q}$ $q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$
conjugué quaternionien $\overline{Q}$ $\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(Q) = q_0 -q_1 e_1 - q_2 e_2 - q_3 e_3$
addition $P+Q$ $\sum(p_{i}+q_{i})e_{i}$
multiplication $PQ$ $\sum_{i,j}(p_{i}q_{j})e_{i}e_{j}$
norme $|Q|$ $\sqrt{Q\overline{Q}} =\sqrt{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}$
exponentielle $\exp(Q)$ $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{Q^{n}}{n!}$

Identités remarquables et calculs

extraction de la partie scalaire $\mathbb{S}(Q)=\frac{1}{2}(Q+\overline{Q})$
extraction de la partie vectorielle $\mathbb{V}(Q)=\frac{1}{2}(Q-\overline{Q})$
détermination d'un $q_n$ $q_{n}=\mathbb{S}(Q\overline{e_{n}})$
multiplication $PQ=\mathbb{S}(P)\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(P)\cdot\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(P)\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(Q)\mathbb{V}(P)+\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q)$
$\cdot$ : produit scalaire, $\wedge$: produit vectoriel de $\mathbb{R}^3$
$PQ=p_{0}q_{0}-\vec{P}\cdot\vec{Q}+p_{0}\vec{Q}+q_{0}\vec{P}+\vec{P}\wedge\vec{Q}$
carré $Q^{2}=2\mathbb{S}(Q)Q-\left|Q\right|^{2}$
si $Q=\vec{V}$ est purement vectoriel) $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$
non commutativité $ QP = PQ - 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$
$ QP = PQ - 2\mathbb{V}(P)\mathbb{V}(Q) - 2\mathbb{V}(P) \cdot \mathbb{V}(Q)$
conjugaisons $\overline{(\overline{Q})}=Q$
$\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$
$\overline{PQ}=\overline{Q}\ \overline{P}$
conjugaison à l'aide des unités $\overline{Q}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{3}{e_{n}Qe_{n}}\text{}$
partie scalaire $\mathbb{S}(Q) = -\frac{1}{4}\sum_{n=0}^3{e_n Q \overline{e_n}}$
que l'on peut ensuite combiner avec la détermination des $q_n$
norme $\left|Q\right|=\sqrt{q_{0}^{2}+|\vec{Q}|^{2}}$
$|P+Q]^{2}=|P|^{2}+|Q|^{2}+2\mathbb{S}(P\overline{Q})$
inversion ($Q$ non nul) $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$
inversion des unités $e_i^{-1} = \overline{e_i} \qquad i=0,\ldots,3$
inversion et conjugaison $\overline{Q^{-1}}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$
$\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$
$\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $
exponentiation $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(|\mathbb{V}(Q)|)+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(|\mathbb{V}(Q)|)\right) $

Autres Représentations

Matrices

La fonction $$Q \mapsto \left(\begin{array}{cc} q_{0}+iq_{1} & q_{2}+iq_{3}\\ -q_{2}+iq_{3} & q_{0}-iq_{1} \end{array}\right)$$

est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2,\mathbb{C}) $. Autrement dit, on peut représenter tout quaternion par une matrice $2 \times 2$ complexe de la forme ci-dessus. Les physiciens auraient tendance à préférer le forme $$Q \mapsto \left(\begin{array}{cc} q_{0}+iq_3 & q_1+iq_2\\ -q_1+iq_2 & q_{0}-iq_3 \end{array}\right)$$

  • l'addition et la multiplication quaternioniennes correspondent à l'addition et à la multiplication matricielles
  • la conjugaison correspond à la transposition conjugaison des matrices $2 \times 2$ complexes

Forme exponentielle

À tout quaternion $Q = q_0 + \vec{Q}$ avec $\vec{Q} \ne 0$  on peut associer a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) et colinéaire à $\vec{Q}$, noté $\vec{u}$, et $0\le\theta<2\pi$ tel que $$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$

Les transformations vers et de la forme exponentielle se calculent ainsi:

$Q$ $\to$ $|Q|e^{\vec{u}\theta}$
$\theta = acos(q_0/|Q|)$
$\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|sin\theta)$
$Q$
$q_0 = |Q|cos\theta$
$\vec{Q} = \vec{u}|Q|sin\theta$
$\leftarrow$ $|Q|e^{\vec{u}\theta}$

Si  $\vec{Q} = 0$  alors  $\vec{u}$ peut être choisi arbitrairement. Par exemple,  $Q= –1 = |1| e^{(2n+1)\pi \vec{u} }$ pour $n$ un entier quelconque et $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire quelconque.

Convention de notation

Étant donné le nombre limité de lettres romaines et grecques majuscules et minuscules il est impossible de prendre une convention qui permette de distinguer en toutes circonstances les entiers, les réels, les complexes, les quaternions, les biquaternions, les variables, les constantes, etc. Ce d'autant plus que les habitudes des mathématiciens et des physiciens divergent.

Dans les articles mathématiques les quaternions sont en général désignés par des lettres romaines minuscules $p,q,r,\ldots$ alors que les physiciens utilisent de préférence des majuscules $P,Q,R,\ldots$.

Dans ce formulaire nous utiliserons généralement la notation des physiciens. Les lettres romaines minuscules pour les réels et les majuscules pour les quaternions.

quaternions/definitions.txt · Last modified: 2020/08/07 22:44 by admin