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quaternions:definitions

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Formulaire

Quaternions

Un quaternion est un élément du corps gauche $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que $e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.

Un quaternion $Q$ peut s'écrire sous la forme $q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ où les $q_{i}$ sont des réels.

Si un quaternion est noté par une lettre, disons $P$, ses composantes seront en général notées $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}$.

Propriétés des unités quaternioniennes

$e_1 e_2 = e_3$
$e_2 e_3 = e_1$
$e_3 e_1 = e_2$
$e_i e_j = -e_j e_i$ pour $i,j \in \{1,2,3 \}$ et $i \ne j$

Remarque. En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaternionniennes habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.

D'autre part, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}ae_{i}$, voire $a_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein.

Opérations et fonctions de base

Pour des quaternions $Q=q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ et $P=p_{0}+p_{1}e_{1}+p_{2}e_{2}+p_{3}e_{3}$ on définira

Opération Notation Définition
partie scalaire $\mathbb{S}(Q)$ $q_{0}$
partie vectorielle $\mathbb{V}(Q)$ ou $\vec{Q}$ $q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$
conjugué quaternionien $\overline{Q}$ $\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(Q)$
addition $P+Q$ $\sum(p_{i}+q_{i})e_{i}$
multiplication $PQ$ $\sum_{i,j}(p_{i}q_{j})e_{i}e_{j}$
norme $|Q|$ $\sqrt{Q\overline{Q}} =\sqrt{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}$
exponentielle $\exp(Q)$ $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{Q^{n}}{n!}$

Identités remarquables et calculs

extraction de la partie scalaire $\mathbb{S}(Q)=\frac{1}{2}(Q+\overline{Q})$
extraction de la partie vectorielle $\mathbb{V}(Q)=\frac{1}{2}(Q-\overline{Q})$
multiplication $PQ=\mathbb{S}(P)\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(P)\cdot\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(P)\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(Q)\mathbb{V}(P)+\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q)$
$\cdot$ : produit scalaire, $\wedge$: produit vectoriel de $\mathbb{R}^3$
$PQ=p_{0}q_{0}-\vec{P}\cdot\vec{Q}+p_{0}\vec{Q}+q_{0}\vec{P}+\vec{P}\wedge\vec{Q}$
non commutativité $PQ - QP = \mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q) - \mathbb{V}(Q)\wedge\mathbb{V}(P) = 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$
carré $Q^{2}=2\mathbb{S}(Q)Q-\left|Q\right|^{2}$
si $Q=\vec{V}$ est purement vectoriel) $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$
conjugaisons $\overline{(\overline{Q})}=Q$
$\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$
$\overline{PQ}=\overline{Q}\ \overline{P}$
conjugaison à partir des unités $\overline{Q}=-\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{3}{e_{i}Qe_{i}}\text{}$
norme $\left|Q\right|=\sqrt{q_{0}^{2}+|\vec{Q}|^{2}}$
$|P+Q]^{2}=|P|^{2}+|Q|^{2}+2\mathbb{S}(P\overline{Q})$
inversion ($Q$ non nul) $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{Q\overline{Q}}$
$=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$
inversion et conjugaison $Q^{-1}==\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_0^{2}+q_1^{2}+q_2^{2}+q_3^{2}}\ \overline{Q}$
$\overline{Q^{-1}}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$
$\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$
$\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $
exponentiation $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(\mathbb{V}(Q))+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(\mathbb{V}(Q))\right) $

Autres Représentations

Matrices

La fonction $$Q \mapsto \left(\begin{array}{cc} q_{0}+iq_{1} & q_{2}+iq_{3}\\ -q_{2}+iq_{3} & q_{0}-iq_{1} \end{array}\right)$$

est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2,\mathbb{C}) $

  • l'addition et la multiplication quaternionniennes correspondent à l'addition et à la multiplication matricielles
  • la conjugaison correspond à la transposition conjugaison des matrices $2 \times 2$ complexes

Forme exponentielle

Pour tout quaternion $Q$ on a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) $\vec{u}$ et $0\le\theta<2\pi$ tels que $$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$ et

  • $\mathbb{S}(Q)=|Q|\cos(\theta) $
  • $\mathbb{V}(Q)=\vec{u}|\mathbb{V}(Q)|=\vec{u}|Q|\sin(\theta)|$

Biquaternions

Un biquaternion est un élément de l'anneau $\mathbb{B}$ qui est l'extension des complexes engendrée par les quaternioniennes $e_1, e_2, e_3$.

Un biquaternion $Z$ peut s'écrire sous la forme $z_{0}+z_{1}e_{1}+z_{2}e_{2}+z_{3}e_{3}$ où les $z_{i}$ sont des nombres complexes. Si on regroupe les parties réelles et imaginaires des $z_{i}$, un biquaternion peut s'écrire sous la forme $A+Bi$ où $A$ et $B$ sont des quaternions.

Les opérations $\mathbb{S}$, $\mathbb{V}$, conjugaison, addition, multiplication sont définies de la même manière que pour les quaternions, en remplaçant les opérations sur les réels par leur correspondant sur les complexes.

On définit deux types de conjugaisons supplémentaires:

conjugué imaginaire $Z^{*}$ $\sum z_{i}^{*}e_{i}$
conjugué hermitien $Z^{+}$ $\overline{Z^{*}}.$

où $z_{i}^{*}$ désigne la conjugaison complexe.

Propriétés

Si |Z|=0 alors il existe q\in\mathbb{H} tel que Z=q\sigma avec \sigma=\frac{1}{2}(1+i\vec{u}) où \vec{u} est vectoriel unitaire.

Quel que soit le choix de \vec{u} dans \sigma, tout biquaternion peut s'écrire Z=Q_{1}\sigma+Q_{2}\overline{\sigma} avec Q_{1} et Q_{2} dans \mathbb{H}.

Convention de notation

Étant donné le nombre limité de lettres romaines et grecques majuscules et minuscules il est impossible de prendre une convention qui permette de distinguer en toutes circonstances les entiers, les réels, les complexes, les quaternions, les biquaternions, les variables, les constantes, etc. Ce d'autant plus que les habitudes des mathématiciens et des physiciens divergent.

Dans les articles mathématiques les quaternions sont en général désignés par des lettres romaines minuscules $p,q,r,\ldots$ alors que les physiciens utilisent de préférence des majuscules $P,Q,R,\ldots$.

Dans ce formulaire nous utiliserons généralement la notation des physiciens. Les lettres romaines minuscules pour les réels et les majuscules pour les quaternions.

quaternions/definitions.1596375732.txt.gz · Last modified: 2020/08/02 15:42 by admin