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quaternions:definitions

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quaternions:definitions [2020/08/02 15:42]
admin [Biquaternions]
quaternions:definitions [2020/08/07 22:44]
admin [Identités remarquables et calculs]
Line 2: Line 2:
 ====== Quaternions ====== ====== Quaternions ======
  
-Un **quaternion** est un élément du corps gauche $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que $e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.+Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que ${e_1}^{2}={e_2}^{2}={e_3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
  
 Un quaternion $Q$ peut s'écrire sous la forme $q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ où les $q_{i}$ sont des réels. Un quaternion $Q$ peut s'écrire sous la forme $q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ où les $q_{i}$ sont des réels.
  
 Si un quaternion est noté par une lettre, disons $P$, ses composantes seront en général notées $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}$. Si un quaternion est noté par une lettre, disons $P$, ses composantes seront en général notées $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}$.
 +
 +**Remarque.** En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaterniques habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes. 
 +
 +D'autre part, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}ae_{i}$, voire $a_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein. 
 +
  
 ===== Propriétés des unités quaternioniennes ===== ===== Propriétés des unités quaternioniennes =====
Line 15: Line 20:
 | $e_i e_j = -e_j e_i$ | pour $i,j \in \{1,2,3 \}$ et  $i \ne j$ | | $e_i e_j = -e_j e_i$ | pour $i,j \in \{1,2,3 \}$ et  $i \ne j$ |
  
-**Remarque.** En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaternionniennes habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.  
- 
-D'autre part, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}ae_{i}$, voire $a_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein.  
  
 ===== Opérations et fonctions de base ===== ===== Opérations et fonctions de base =====
Line 26: Line 28:
 | partie scalaire        | $\mathbb{S}(Q)$              | $q_{0}$ | | partie scalaire        | $\mathbb{S}(Q)$              | $q_{0}$ |
 | partie vectorielle     | $\mathbb{V}(Q)$ ou $\vec{Q}$ | $q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ |   | partie vectorielle     | $\mathbb{V}(Q)$ ou $\vec{Q}$ | $q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ |  
-| conjugué quaternionien | $\overline{Q}$               | $\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(Q)$ |+| conjugué quaternionien | $\overline{Q}$               | $\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(Q) = q_0 -q_1 e_1 - q_2 e_2 - q_3 e_3$ |
 | addition               | $P+Q$                        | $\sum(p_{i}+q_{i})e_{i}$ | | addition               | $P+Q$                        | $\sum(p_{i}+q_{i})e_{i}$ |
 | multiplication         | $PQ$                         | $\sum_{i,j}(p_{i}q_{j})e_{i}e_{j}$ | | multiplication         | $PQ$                         | $\sum_{i,j}(p_{i}q_{j})e_{i}e_{j}$ |
Line 39: Line 41:
 | extraction de la partie scalaire    | $\mathbb{S}(Q)=\frac{1}{2}(Q+\overline{Q})$ | | extraction de la partie scalaire    | $\mathbb{S}(Q)=\frac{1}{2}(Q+\overline{Q})$ |
 | extraction de la partie vectorielle | $\mathbb{V}(Q)=\frac{1}{2}(Q-\overline{Q})$ | | extraction de la partie vectorielle | $\mathbb{V}(Q)=\frac{1}{2}(Q-\overline{Q})$ |
 +| détermination d'un $q_n$            | $q_{n}=\mathbb{S}(Q\overline{e_{n}})$ |
 | multiplication                      | $PQ=\mathbb{S}(P)\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(P)\cdot\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(P)\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(Q)\mathbb{V}(P)+\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q)$ <html><br></html>//$\cdot$ : produit scalaire, $\wedge$: produit vectoriel de $\mathbb{R}^3$//| | multiplication                      | $PQ=\mathbb{S}(P)\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(P)\cdot\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(P)\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(Q)\mathbb{V}(P)+\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q)$ <html><br></html>//$\cdot$ : produit scalaire, $\wedge$: produit vectoriel de $\mathbb{R}^3$//|
 | :::                                 | $PQ=p_{0}q_{0}-\vec{P}\cdot\vec{Q}+p_{0}\vec{Q}+q_{0}\vec{P}+\vec{P}\wedge\vec{Q}$ | | :::                                 | $PQ=p_{0}q_{0}-\vec{P}\cdot\vec{Q}+p_{0}\vec{Q}+q_{0}\vec{P}+\vec{P}\wedge\vec{Q}$ |
-| non commutativité                   | $PQ - QP = \mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q) - \mathbb{V}(Q)\wedge\mathbb{V}(P) = 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ | 
 | carré                               | $Q^{2}=2\mathbb{S}(Q)Q-\left|Q\right|^{2}$  | | carré                               | $Q^{2}=2\mathbb{S}(Q)Q-\left|Q\right|^{2}$  |
 | si $Q=\vec{V}$ est purement vectoriel) | $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$  | | si $Q=\vec{V}$ est purement vectoriel) | $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$  |
 +| non commutativité                   | $ QP = PQ - 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ |
 +|                                     | $ QP = PQ - 2\mathbb{V}(P)\mathbb{V}(Q) - 2\mathbb{V}(P) \cdot \mathbb{V}(Q)$ |
 | conjugaisons                        | $\overline{(\overline{Q})}=Q$ |  | conjugaisons                        | $\overline{(\overline{Q})}=Q$ |
 | :::                                   | $\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$ | | :::                                   | $\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$ |
 | :::                                 | $\overline{PQ}=\overline{Q}\ \overline{P}$ | | :::                                 | $\overline{PQ}=\overline{Q}\ \overline{P}$ |
-| conjugaison à partir des unités     | $\overline{Q}=-\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{3}{e_{i}Qe_{i}}\text{}$ |+| conjugaison à l'aide des unités     | $\overline{Q}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{3}{e_{n}Qe_{n}}\text{}$ | 
 +| partie scalaire                     | $\mathbb{S}(Q) = -\frac{1}{4}\sum_{n=0}^3{e_n Q \overline{e_n}}$ <html><br></html>que l'on peut ensuite combiner avec la détermination des $q_n$ |
 | norme                               | $\left|Q\right|=\sqrt{q_{0}^{2}+|\vec{Q}|^{2}}$ | | norme                               | $\left|Q\right|=\sqrt{q_{0}^{2}+|\vec{Q}|^{2}}$ |
 | :::                                 | $|P+Q]^{2}=|P|^{2}+|Q|^{2}+2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ | | :::                                 | $|P+Q]^{2}=|P|^{2}+|Q|^{2}+2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ |
-| inversion ($Q$ non nul)             | $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{Q\overline{Q}}$ | +| inversion ($Q$ non nul)             | $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$ | 
-| :::                                 | $=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$ | +| inversion des unités                | $e_i^{-1} = \overline{e_i} \qquad i=0,...,3$ | 
-| inversion et conjugaison            | $Q^{-1}==\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_0^{2}+q_1^{2}+q_2^{2}+q_3^{2}}\ \overline{Q}$ | +inversion et conjugaison            | $\overline{Q^{-1}}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
-:::                                 | $\overline{Q^{-1}}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |+
 | :::                                 | $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ | | :::                                 | $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
 | :::                                 | $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $ | | :::                                 | $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $ |
-| exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(\mathbb{V}(Q))+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(\mathbb{V}(Q))\right) $ |+<html><a name="exp"></html>exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(|\mathbb{V}(Q)|)+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(|\mathbb{V}(Q)|)\right) $ |
  
  
Line 68: Line 72:
 \end{array}\right)$$ \end{array}\right)$$
  
-est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2,\mathbb{C}) $+est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2,\mathbb{C}) $. Autrement dit, on peut représenter tout quaternion par une matrice $2 \times 2$ complexe de la forme ci-dessus. Les physiciens auraient tendance à préférer le forme 
 +$$Q \mapsto \left(\begin{array}{cc} 
 +q_{0}+iq_3 & q_1+iq_2\\ 
 +-q_1+iq_2 & q_{0}-iq_3 
 +\end{array}\right)$$
  
-  * l'addition et la multiplication quaternionniennes correspondent à l'addition et à la multiplication matricielles  +  * l'addition et la multiplication quaternioniennes correspondent à l'addition et à la multiplication matricielles  
   * la conjugaison correspond à la transposition conjugaison des matrices $2 \times 2$ complexes   * la conjugaison correspond à la transposition conjugaison des matrices $2 \times 2$ complexes
 +
 +
  
 ==== Forme exponentielle ==== ==== Forme exponentielle ====
  
-Pour tout quaternion $Q$ on a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) $\vec{u}$ et $0\le\theta<2\pi$ tels que+À tout quaternion $Q = q_0 + \vec{Q}$ avec $\vec{Q} \ne  0 on peut associer a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) et colinéaire à $\vec{Q}$, noté $\vec{u}$et  $0\le\theta<2\pi$ tel que
 $$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$  $$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$ 
-et  
- 
-  * $\mathbb{S}(Q)=|Q|\cos(\theta) $ 
-  * $\mathbb{V}(Q)=\vec{u}|\mathbb{V}(Q)|=\vec{u}|Q|\sin(\theta)|$ 
- 
- 
-====== Biquaternions ====== 
- 
-Un **biquaternion** est un élément de l'anneau $\mathbb{B}$ qui est l'extension des complexes engendrée par les quaternioniennes $e_1, e_2, e_3$. 
- 
-Un biquaternion $Z$ peut s'écrire sous la forme $z_{0}+z_{1}e_{1}+z_{2}e_{2}+z_{3}e_{3}$ où les $z_{i}$ sont des nombres complexes. Si on regroupe les parties réelles et imaginaires des $z_{i}$, un biquaternion peut s'écrire sous la forme $A+Bi$ où $A$ et $B$ sont des quaternions. 
- 
-Les opérations $\mathbb{S}$, $\mathbb{V}$, conjugaison, addition, multiplication sont définies de la même manière que pour les quaternions, en remplaçant les opérations sur les réels par leur correspondant sur les complexes. 
  
-On définit deux types de conjugaisons supplémentaires:+Les transformations vers et de la forme exponentielle se calculent ainsi:
  
 +| $Q$ | $\to$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ <html><br></html>$\theta = acos(q_0/|Q|)$ <html><br></html> $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|sin\theta)$ |
 +| $Q$ <html><br></html> $q_0 = |Q|cos\theta$ <html><br></html> $\vec{Q} = \vec{u}|Q|sin\theta$ | $\leftarrow$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ |
  
-| conjugué imaginaire | $Z^{*}$ $\sum z_{i}^{*}e_{i}$ | +Si  $\vec{Q= 0 alors  $\vec{u}$ peut être choisi arbitrairement. Par exemple,  $Q= –1 = |1e^{(2n+1)\pi \vec{u} }$ pour $n$ un entier quelconque et $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire quelconque.
-conjugué hermitien  | $Z^{+}$     | $\overline{Z^{*}}.$ |+
  
-où $z_{i}^{*}$ désigne la conjugaison complexe. 
  
-===== Propriétés ===== 
  
-Si |Z|=0 alors il existe q\in\mathbb{H} tel que Z=q\sigma avec \sigma=\frac{1}{2}(1+i\vec{u}) où \vec{u} est vectoriel unitaire. 
  
-Quel que soit le choix de \vec{u} dans \sigma, tout biquaternion peut s'écrire Z=Q_{1}\sigma+Q_{2}\overline{\sigma} avec Q_{1} et Q_{2} dans \mathbb{H}. 
  
 ===== Convention de notation ===== ===== Convention de notation =====
quaternions/definitions.txt · Last modified: 2020/08/07 22:44 by admin