quaternions:definitions
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quaternions:definitions [2020/08/02 15:42] – [Biquaternions] admin | quaternions:definitions [2020/08/06 22:28] – [Forme exponentielle] admin | ||
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====== Quaternions ====== | ====== Quaternions ====== | ||
- | Un **quaternion** est un élément du corps gauche | + | Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif |
Un quaternion $Q$ peut s' | Un quaternion $Q$ peut s' | ||
Si un quaternion est noté par une lettre, disons $P$, ses composantes seront en général notées $p_{0}, | Si un quaternion est noté par une lettre, disons $P$, ses composantes seront en général notées $p_{0}, | ||
+ | |||
+ | **Remarque.** En employant les symboles $e_{1}, | ||
+ | |||
+ | D' | ||
+ | |||
===== Propriétés des unités quaternioniennes ===== | ===== Propriétés des unités quaternioniennes ===== | ||
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| $e_i e_j = -e_j e_i$ | pour $i,j \in \{1,2,3 \}$ et $i \ne j$ | | | $e_i e_j = -e_j e_i$ | pour $i,j \in \{1,2,3 \}$ et $i \ne j$ | | ||
- | **Remarque.** En employant les symboles $e_{1}, | ||
- | |||
- | D' | ||
===== Opérations et fonctions de base ===== | ===== Opérations et fonctions de base ===== | ||
Line 26: | Line 28: | ||
| partie scalaire | | partie scalaire | ||
| partie vectorielle | | partie vectorielle | ||
- | | conjugué quaternionien | $\overline{Q}$ | + | | conjugué quaternionien | $\overline{Q}$ |
| addition | | addition | ||
| multiplication | | multiplication | ||
Line 39: | Line 41: | ||
| extraction de la partie scalaire | | extraction de la partie scalaire | ||
| extraction de la partie vectorielle | $\mathbb{V}(Q)=\frac{1}{2}(Q-\overline{Q})$ | | | extraction de la partie vectorielle | $\mathbb{V}(Q)=\frac{1}{2}(Q-\overline{Q})$ | | ||
+ | | détermination d'un $q_n$ | $q_{n}=\mathbb{S}(Q\overline{e_{n}})$ | | ||
| multiplication | | multiplication | ||
| ::: | $PQ=p_{0}q_{0}-\vec{P}\cdot\vec{Q}+p_{0}\vec{Q}+q_{0}\vec{P}+\vec{P}\wedge\vec{Q}$ | | | ::: | $PQ=p_{0}q_{0}-\vec{P}\cdot\vec{Q}+p_{0}\vec{Q}+q_{0}\vec{P}+\vec{P}\wedge\vec{Q}$ | | ||
- | | non commutativité | ||
| carré | | carré | ||
| si $Q=\vec{V}$ est purement vectoriel) | $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$ | | si $Q=\vec{V}$ est purement vectoriel) | $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$ | ||
+ | | non commutativité | ||
| conjugaisons | | conjugaisons | ||
| ::: | $\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$ | | | ::: | $\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$ | | ||
| ::: | $\overline{PQ}=\overline{Q}\ \overline{P}$ | | | ::: | $\overline{PQ}=\overline{Q}\ \overline{P}$ | | ||
- | | conjugaison à partir | + | | conjugaison à l' |
+ | | partie scalaire | ||
| norme | $\left|Q\right|=\sqrt{q_{0}^{2}+|\vec{Q}|^{2}}$ | | | norme | $\left|Q\right|=\sqrt{q_{0}^{2}+|\vec{Q}|^{2}}$ | | ||
| ::: | $|P+Q]^{2}=|P|^{2}+|Q|^{2}+2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ | | | ::: | $|P+Q]^{2}=|P|^{2}+|Q|^{2}+2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ | | ||
- | | inversion ($Q$ non nul) | $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{Q\overline{Q}}$ | | + | | inversion ($Q$ non nul) | $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$ | |
- | | ::: | $=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$ | | + | | inversion |
- | | inversion | + | | inversion et conjugaison |
- | | ::: | $\overline{Q^{-1}}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ | | + | |
| ::: | $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ | | | ::: | $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ | | ||
| ::: | $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $ | | | ::: | $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $ | | ||
- | | exponentiation | + | | exponentiation |
Line 68: | Line 71: | ||
\end{array}\right)$$ | \end{array}\right)$$ | ||
- | est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2, | + | est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2, |
+ | $$Q \mapsto \left(\begin{array}{cc} | ||
+ | q_{0}+iq_3 & q_1+iq_2\\ | ||
+ | -q_1+iq_2 & q_{0}-iq_3 | ||
+ | \end{array}\right)$$ | ||
- | * l' | + | * l' |
* la conjugaison correspond à la transposition conjugaison des matrices $2 \times 2$ complexes | * la conjugaison correspond à la transposition conjugaison des matrices $2 \times 2$ complexes | ||
+ | |||
+ | |||
==== Forme exponentielle ==== | ==== Forme exponentielle ==== | ||
- | Pour tout quaternion $Q$ on a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) $\vec{u}$ et $0\le\theta< | + | À tout quaternion $Q = q_0 + \vec{Q}$ avec $\vec{Q} \ne 0$ on peut associer |
$$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$ | $$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$ | ||
- | et | ||
- | |||
- | * $\mathbb{S}(Q)=|Q|\cos(\theta) $ | ||
- | * $\mathbb{V}(Q)=\vec{u}|\mathbb{V}(Q)|=\vec{u}|Q|\sin(\theta)|$ | ||
- | |||
- | |||
- | ====== Biquaternions ====== | ||
- | |||
- | Un **biquaternion** est un élément de l' | ||
- | |||
- | Un biquaternion $Z$ peut s' | ||
- | |||
- | Les opérations $\mathbb{S}$, | ||
- | On définit deux types de conjugaisons supplémentaires: | + | Les transformations vers et de la forme exponentielle se calculent ainsi: |
+ | | $Q$ | $\to$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ < | ||
+ | | $Q$ < | ||
- | | conjugué imaginaire | $Z^{*}$ | $\sum z_{i}^{*}e_{i}$ | | + | Si $\vec{Q} = 0$ alors $\vec{u}$ peut être choisi arbitrairement. Par exemple, $Q= –1 = |1| e^{(2n+1)\pi \vec{u} |
- | | conjugué hermitien | + | |
- | où $z_{i}^{*}$ désigne la conjugaison complexe. | ||
- | ===== Propriétés ===== | ||
- | Si |Z|=0 alors il existe q\in\mathbb{H} tel que Z=q\sigma avec \sigma=\frac{1}{2}(1+i\vec{u}) où \vec{u} est vectoriel unitaire. | ||
- | Quel que soit le choix de \vec{u} dans \sigma, tout biquaternion peut s' | ||
===== Convention de notation ===== | ===== Convention de notation ===== |
quaternions/definitions.txt · Last modified: 2023/11/01 14:44 by 127.0.0.1