Un biquaternion est un élément de l'anneau $\mathbb{B}$ qui est l'extension des nombres complexes engendrée par les quaternioniennes $e_1, e_2, e_3$.
Un biquaternion $Z$ peut s'écrire sous la forme $z_{0}+z_{1}e_{1}+z_{2}e_{2}+z_{3}e_{3}$ où les $z_{i}$ sont des nombres complexes. Si on regroupe les parties réelles et imaginaires des $z_{i}$, un biquaternion peut s'écrire sous la forme $A+Bi$ où $A$ et $B$ sont des quaternions.
La grande nouveauté par rapport aux quaternion est qu'il existe des diviseurs de zéro qui nécessitent usuellement un traitement spécial ; parce qu'ils n'ont pas d'inverse, par définition.
Par exemple: $(1 + i e_3) (1 – i e_3) = 0$.
Ces diviseurs non nuls de zéro sont dit des biquaternions singuliers; ou par abus de langage, des quaternions singuliers; puisqu'il n'y a pas de diviseurs de zéro sur les quaternions.
Alors que beaucoup des formules pour les quaternions restent utilisables pour les biquaternions inversibles, ce n'est plus le cas avec les biquaternions singuliers, qui sont souvent les biquaternions les plus intéressants pour les applications physiques.
Les opérations partie scalaire, partie vectorielle, addition, multiplication, conjugaison, norme, exponentielle sont définies de la même manière que pour les quaternions, en remplaçant les opérations sur les réels par leur correspondant sur les complexes.
Il y a trois opérations de conjugaison sur un biquaternion $Z = z_0 + z_1 e_1 + z_2 e_2 + z_3 e_3$ :
| conjugué | $\overline{Z}$ | $\mathbb{S}(Z)-\mathbb{V}(Z) = z_0 - z_1 e_1 - z_2 e_2 - z_3 e_3$ |
| conjugué imaginaire | $Z^{*}$ | $\sum z_{i}^{*}e_{i}$ |
| conjugué hermitien | $Z^{+}$ | $\overline{Z^{*}}.$ |
où $z_{i}^{*}$ désigne la conjugaison complexe.
| ID | Condition | Structure |
|---|---|---|
| (S1) | $Z \in \mathbb{B}$ | $\forall \vec{u}\in \vec{\hat{\mathbb{H}}} \ \exists Q_1, Q_2 \in \mathbb{H} : Z=Q_{1}\sigma+Q_{2}\overline{\sigma}$ <html><br></html> avec $\sigma=\frac{1}{2}(1+i\vec{u})$ |
| (S2) | $Z \in \mathbb{B} - \{0\}$ et $|Z| = 0$ | $\exists q \in \mathbb{H}, \vec{u} \in \vec{\hat{\mathbb{H}}} : Z = q\sigma$ <html><br></html>avec$\sigma_{\vec{u}}=\frac{1}{2}(1+i\vec{u})$ |
$\vec{\hat{\mathbb{H}}}$ désigne l'ensemble des quaternions unitaires ($|Q|=1$) purement vectoriels ($\mathbb{S}(Q)=0$)
On peut toujours écrire $Z$ comme $A(1+iX)$ avec $A$, $X$ dans $\mathbb{H}$ et $A \ne 0$. Donc $|Z|^{2}$ $=|A|^2|1+iX|^2 $ $= |A|^2(1 +iX)\overline{(1 +iX)}$ $ = |A|^2(1 +iX)(1 +i\overline{X}) $ $= |A|^2(1 +iX +i\overline{X} -|X|^2)$ $= |A|^2(1 +2i\mathbb{S}(X) + |X|^2)$.
Cette expression est nulle si et seulement si $|X|^{2}=1$ et $\mathbb{S}(X)=0$. Donc $Z=A(1+i\vec{u})$ avec $\vec{u}\in\vec{\hat{\mathbb{H}}}$ ou bien $Z=(1+i\vec{v})A$ (avec $\vec{v}=A\vec{u}A^{-1}$ )
Si on calcule $(1+i\vec{u})^{2}$ on trouve $2(1+i\vec{u})$ donc $1/2(1+i\vec{u})$ est idempotent. Donc on préfère écrire les biquaternions singuliers comme $Z=q\sigma$ où $\sigma=\frac{1}{2}(1+i\vec{u})$.
On peut également voir que $\overline{\sigma}$ est aussi idempotent. On a donc deux projecteurs orthogonaux.
Soit $Z=A+iB$. Calculons $Z\sigma=(A+iB)(1+i\vec{u})/2$
$$=A(1+i\vec{u})/2+iB(1+i\vec{u})/2$$ $$=A(1+i\vec{u})/2-B\vec{u}(1+i\vec{u})/2$$ $$=(A-B\vec{u})\sigma Q_{1}\sigma.$$
De même $Z\overline{\sigma}=(A+B\vec{u})\overline{\sigma}=Q_{2}\overline{\sigma}$
Comme $\sigma+\overline{\sigma}=1$ on a bien $Z=Z\sigma+Z\overline{\sigma}=Q_{1}\sigma+Q_{2}\overline{\sigma}$ .