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--- quaternions:equations-degre-1 [2025/09/09 11:32] – [Preuve de $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ n'a aucune solution] admin
+++ quaternions:equations-degre-1 [2025/09/09 12:04] (current) – [Équations linéaires, de la forme $AX + XB = 0$] admin
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 On suppose que $A = a_0 + \vec{a}$ et $B = b_0 + \vec{b}$
-$X = 0$ est toujours solution
+On a :
-== Condition d'existence d'une solution non nulle : ==
+  - $X = 0$ est toujours solution
+  - Par linéarité, tout multiple d'une solution est une solution
+=== Condition d'existence d'une solution non nulle : ===
 $$|A| = |B| \text{ et } a_0 = b_0$$
-Par linéarité, tout multiple d'une solution est une solution
+Par linéarité, toute solution sera multiple d'une solution $X$ avec $|X|=1$ donc on se restreint aux solutions de norme 1.
+Les solutions sont donc des multiples de $X$ tel que
+  - $|X|=1$
+  - $XA\overline{X} = B$
+En séparant les parties scalaire et vectorielles on voit que $X.\overline{X}$ doit être une rotation qui amène $\vec{a}$ sur $\vec{b}$.
-Tout multiple d'une rotation $X$ qui amène $\vec{a}$ sur $\vec{b}$ est une solution.
+=== Cas 1. $\vec{a} \ne \vec{b}$ et $\vec{a} \ne -\vec{b}$ ===
-Si $\vec{a} \ne \vec{b}$ et $\vec{a} \ne -\vec{b}$ une telle rotation est donnée par
+La rotation est donnée par
 $$X = \cos(\theta/2)+\vec{u}\sin(\theta/2)$$
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 $$
-Si $\vec{a} = -\vec{b}$
+=== Cas 2. $\vec{a} = -\vec{b}$ ===
 N'importe quelle rotation d'une angle $\pi$ autour d'un vecteur perpendiculaire à $\vec{a}$ est solution. Les solutions sont les multiples de
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 où $\vec{u}$ est un quaternion vectoriel unitaire tel que $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$
-Si $\vec{a} = \vec{b}$
+=== Cas 3. $\vec{a} = \vec{b}$ ===
 N'importe quelle rotation autour de l'axe $\vec{a}$ est une solution. Les solutions sont donc des multiples de
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 Donc tout quaternion de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ est solution.
+$\square$