Équations quaternioniques du premier degré

Équations de la forme $AX + QX + C = 0$

où $A,B,C,X \in \mathbb{H}$

Réduction à un seul terme en $X$

ID	Équation	Équivalente à
red-1	$AX+XB+C=0$	$X(eB + f) = D$
red-2	$AX+XB+C=0$	$(eA - f)X = E$

où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$ , $f = |A|^{2}-|B|^{2}$ , $D =-\overline{A}C-CB$ , $E =-AC-C\overline{B}$ |

Résolution

Équation	Solution
$AX+XB+C=0$	$X = \frac{D(\overline{eB+f})}{\|eB+f\|^2} = \frac{De\overline{B}+Df}{\|eB+f\|^2}$ <html><br></html> ou de manière équivalente <html><br></html> $X = \frac{(\overline{eA-f})E}{\|eA-f\|^2} = \frac{e\overline{A}E-fE}{\|eA-f\|^2}$

Équations dégénérées

Lorsque $eB-f = 0$

Exemples:

$e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$	n'a pas de solution. multiplier à gauche par $e_{1}$ , puis à droite par $e_{2}$ , additionner $\to 0=e_{1}+e_{2}$
$e_1 X + X e_1 = 0$	a une infinité de solutions de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$

Preuves

red-1

À partir de $AX+XB+C=0$ , si on multiplie par $\overline{A}$ à gauche on obtient $|A|^{2}X+\overline{A}XB+\overline{A}C=0.$ Si on multiplie à droite par $B$ on obtient $AXB+XB^{2}+CB=0.$ Par addition on obtient $2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$ $\to X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$ $\to X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$ $\to X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$ qu'on écrit $X(eB+f)=D$

red-2

À partir de $AX+XB+C=0$ , si on multiplie par $\overline{B}$ à droite on obtient $AX\overline{B}+X|B|^2+C\overline{B}=0.$ Si on multiplie à gauche par $A$ on obtient $A^2X+AXB+AC=0.$ Par addition on obtient $2\mathbb{S}(B)AX+(A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$ $\to (2\mathbb{S}(B)A+A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$ $\to (2\mathbb{S}(B)A+2\mathbb{S}(A)A-|A|^2 + |B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$ $\to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$

$\to (eA - f)X = E$

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