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quaternions:equations-degre-1

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quaternions:equations-degre-1 [2025/09/09 11:32] – [Preuve de $AX+XB+C=0 \leftrightarrow X(eB + f) = D $] adminquaternions:equations-degre-1 [2025/09/09 12:04] (current) – [Équations linéaires, de la forme $AX + XB = 0$] admin
Line 36: Line 36:
 On suppose que $A = a_0 + \vec{a}$ et $B = b_0 + \vec{b}$ On suppose que $A = a_0 + \vec{a}$ et $B = b_0 + \vec{b}$
  
-$X = 0$ est toujours solution+On a :
  
-== Condition d'existence d'une solution non nulle : == +  - $X = 0$ est toujours solution 
 +  - Par linéarité, tout multiple d'une solution est une solution 
 + 
 +=== Condition d'existence d'une solution non nulle : === 
 $$|A| = |B| \text{ et } a_0 = b_0$$ $$|A| = |B| \text{ et } a_0 = b_0$$
  
-Par linéarité, tout multiple d'une solution est une solution+Par linéarité, toute solution sera multiple d'une solution $X$ avec $|X|=1$ donc on se restreint aux solutions de norme 1. 
 + 
 +Les solutions sont donc des multiples de $X$ tel que  
 + 
 +  - $|X|=1$ 
 +  - $XA\overline{X} = B$ 
 + 
 +En séparant les parties scalaire et vectorielles on voit que $X.\overline{X}$ doit être une rotation qui amène $\vec{a}$ sur $\vec{b}$. 
  
-Tout multiple d'une rotation $X$ qui amène $\vec{a}$ sur $\vec{b}$ est une solution.+=== Cas 1. $\vec{a} \ne \vec{b}$ et $\vec{a} \ne -\vec{b}$ ===
  
-Si $\vec{a} \ne \vec{b}$ et $\vec{a} \ne -\vec{b}$ une telle rotation est donnée par +La rotation est donnée par
  
 $$X = \cos(\theta/2)+\vec{u}\sin(\theta/2)$$ $$X = \cos(\theta/2)+\vec{u}\sin(\theta/2)$$
Line 57: Line 68:
 $$ $$
  
-Si $\vec{a} = -\vec{b}$+=== Cas 2. $\vec{a} = -\vec{b}$ ===
  
 N'importe quelle rotation d'une angle $\pi$ autour d'un vecteur perpendiculaire à $\vec{a}$ est solution. Les solutions sont les multiples de N'importe quelle rotation d'une angle $\pi$ autour d'un vecteur perpendiculaire à $\vec{a}$ est solution. Les solutions sont les multiples de
Line 64: Line 75:
 où $\vec{u}$ est un quaternion vectoriel unitaire tel que $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$ où $\vec{u}$ est un quaternion vectoriel unitaire tel que $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$
  
-Si $\vec{a} = \vec{b}$+=== Cas 3. $\vec{a} = \vec{b}$ ===
  
 N'importe quelle rotation autour de l'axe $\vec{a}$ est une solution. Les solutions sont donc des multiples de N'importe quelle rotation autour de l'axe $\vec{a}$ est une solution. Les solutions sont donc des multiples de
Line 110: Line 121:
 $$ \to (eA - f)X = E$$ $$ \to (eA - f)X = E$$
  
 +$\square$
 ==== Preuve de $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ n'a aucune solution ==== ==== Preuve de $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ n'a aucune solution ====
 À partir de $$e_1X +Xe_2 + e_3 = 0$$ À partir de $$e_1X +Xe_2 + e_3 = 0$$
Line 120: Line 132:
 Incohérent, pas de solution  Incohérent, pas de solution 
  
 +$\square$
 ==== Preuve de $e_1 X + X e_1 = 0$ a une infinité de solutions ==== ==== Preuve de $e_1 X + X e_1 = 0$ a une infinité de solutions ====
  
Line 131: Line 144:
  
 Donc tout quaternion de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ est solution. Donc tout quaternion de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ est solution.
 +
 +
 +$\square$
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