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--- quaternions:equations-degre-1 [2025/09/04 09:11] – [Équations de la forme $AX + QX + C = 0$] admin
+++ quaternions:equations-degre-1 [2025/09/09 12:04] (current) – [Équations linéaires, de la forme $AX + XB = 0$] admin
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-===== Équations de la forme $AX + BX + C = 0$ =====
+===== Équations de la forme $AX + XB + C = 0$ =====
 où $A,B,C,X \in \mathbb{H}$
@@ Line 14: / Line 14: @@
-^ ID ^ Équation ^ Équivalente à ^
+^ Équation ^ Équivalente à ^   ^
-| red-1 |$AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ |
+| $AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ | [[#Preuve de $AX+XB+C=0 \leftrightarrow X(eB + f) = D $|$\to$ Preuve]] |
-| red-2 |$AX+XB+C=0$ | $(eA - f)X = E $ |
+| $AX+XB+C=0$ | $(eA - f)X = E $ | [[#Preuve de $AX+XB+C=0 \leftrightarrow (eA - f)X = E $|$\to$ Preuve]] |
 où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, $f = |A|^{2}-|B|^{2}$, $D =-\overline{A}C-CB$ , $E =-AC-C\overline{B}$ |
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 Exemples:
-| ex-1 | $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ | Aucune solution  |
+^ Équation ^ Solutions ^   ^
-| ex-2 | $e_1 X + X e_1 = 0$ | Infinité de solutions |
+| $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ | Aucune solution  | [[#Preuve de $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ n'a aucune solution | $\to$ Preuve]] |
+| $e_1 X + X e_1 = 0$ | Infinité de solutions | [[#Preuve de $e_1 X + X e_1 = 0$ a une infinité de solutions | $\to$ Preuve]] |
 ===== Équations linéaires, de la forme $AX + XB = 0$ =====
+On suppose que $A = a_0 + \vec{a}$ et $B = b_0 + \vec{b}$
+On a :
+  - $X = 0$ est toujours solution
+  - Par linéarité, tout multiple d'une solution est une solution
+=== Condition d'existence d'une solution non nulle : ===
+$$|A| = |B| \text{ et } a_0 = b_0$$
+Par linéarité, toute solution sera multiple d'une solution $X$ avec $|X|=1$ donc on se restreint aux solutions de norme 1.
+Les solutions sont donc des multiples de $X$ tel que
+  - $|X|=1$
+  - $XA\overline{X} = B$
+En séparant les parties scalaire et vectorielles on voit que $X.\overline{X}$ doit être une rotation qui amène $\vec{a}$ sur $\vec{b}$.
+=== Cas 1. $\vec{a} \ne \vec{b}$ et $\vec{a} \ne -\vec{b}$ ===
+La rotation est donnée par
+$$X = \cos(\theta/2)+\vec{u}\sin(\theta/2)$$
+avec
+$$
+\begin{array}{rcl}
+\vec{u} & = & \frac{\vec{a} \wedge \vec{b}}{|\vec{a} \wedge \vec{b}|} \\
+cos(\theta) & = & \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
+\end{array}
+$$
+=== Cas 2. $\vec{a} = -\vec{b}$ ===
+N'importe quelle rotation d'une angle $\pi$ autour d'un vecteur perpendiculaire à $\vec{a}$ est solution. Les solutions sont les multiples de
+$$X = \cos(\pi/2)+\vec{u}\sin(\pi/2) = \vec{u}$$
+où $\vec{u}$ est un quaternion vectoriel unitaire tel que $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$
+=== Cas 3. $\vec{a} = \vec{b}$ ===
+N'importe quelle rotation autour de l'axe $\vec{a}$ est une solution. Les solutions sont donc des multiples de
+$$X = \cos(\theta/2)+\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\sin(\theta/2)$$
+où $\theta$ est un angle quelconque.
 -----------------
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 ===== Preuves =====
-==== red-1 ====
+==== Preuve de $AX+XB+C=0 \leftrightarrow X(eB + f) = D $  ====
 À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{A}$ à gauche on obtient
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 $$X(eB+f)=D$$
-==== red-2 ====
+$\square$
+==== Preuve de $AX+XB+C=0 \leftrightarrow (eA - f)X = E $ ====
 À partir de
@@ Line 67: / Line 121: @@
 $$ \to (eA - f)X = E$$
-==== ex-1 ====
+$\square$
+==== Preuve de $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ n'a aucune solution ====
 À partir de $$e_1X +Xe_2 + e_3 = 0$$
 En multipliant à gauche par $e_1$ on obtient
@@ Line 77: / Line 132: @@
 Incohérent, pas de solution
-==== ex-2 ====
+$\square$
+==== Preuve de $e_1 X + X e_1 = 0$ a une infinité de solutions ====
 On résoutd $e_1X + Xe_1 = 0$ par composantes, en posant $X = q_0 + q_1e_1 + q_2e_2 + q_3e_3$.
@@ Line 88: / Line 144: @@
 Donc tout quaternion de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ est solution.
+$\square$