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--- quaternions:equations-degre-1 [2020/08/04 14:27] – [Résolution] admin
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@@ Line 1: / Line 1: @@
+[[:quaternions|Formulaire]]
 ====== Équations quaternioniques du premier degré  ======
 ===== Équations de la forme  $AX + QX + C = 0$  =====
 où  $A,B,C,X \in \mathbb{H}$
 ==== Réduction à un seul terme en  $X$  ====
-^ Équation ^ Équivalente à ^
+^ ID ^ Équation ^ Équivalente à ^
-| $AX+XB+C=0$  |  $X(eB + f) = D$  |
+| red-1 | $AX+XB+C=0$  |  $X(eB + f) = D$  |
-| :::        |  $(eA - f)X = E$  |
+| red-2 | $AX+XB+C=0$  |  $(eA - f)X = E$  |
 où  $e = 2\mathbb{S}(A+B)$ ,  $f = |A|^{2}-|B|^{2}$ ,  $D =-\overline{A}C-CB$  ,  $E =-AC-C\overline{B}$  |
@@ Line 19: / Line 25: @@
 | $AX+XB+C=0$  |  $X = \frac{D(\overline{eB+f})}{|eB+f|^2} = \frac{De\overline{B}+Df}{|eB+f|^2}$  <html><br></html> ou de manière équivalente <html><br></html>  $X = \frac{(\overline{eA-f})E}{|eA-f|^2} = \frac{e\overline{A}E-fE}{|eA-f|^2}$  |
-===== Équations sans solutions =====
+==== Équations dégénérées ====
-Exemple. $$e_{1}q+qe_{2}+e_{3}=0$$
+Lorsque $eB-f = 0$
-n'a pas de solution. Pour le voir, on multiplie à gauche par  $e_{1}$ , à droite par  $e_{2}$ , en additionnant on trouve
+Exemples:
-$ $0=e_{1}+e_{2}$ $
+|  $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$  | n'a pas de solution. multiplier à gauche par  $e_{1}$ , puis à droite par  $e_{2}$ , additionner $ \to 0=e_{1}+e_{2}$ |
+|  $e_1 X + X e_1 = 0$  | a une infinité de solutions de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ |
 ===== Preuves =====
+==== red-1 ====
 À partir de  $AX+XB+C=0$ , si on multiplie par  $\overline{A}$  à gauche on obtient
@@ Line 35: / Line 45: @@
 Par addition on obtient
  $2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$
-d'où
+$$\to X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
- $X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$
+$$\to X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
-d'où
+$$\to X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$
- $X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$
-et donc
- $X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$
 qu'on écrit
  $X(eB+f)=D$
+==== red-2 ====
 À partir de  $AX+XB+C=0$ , si on multiplie par  $\overline{B}$  à droite on obtient
@@ Line 55: / Line 63: @@
  $\to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$
-$$ \to (eA - f)X = D'$$
+$$ \to (eA - f)X = E$$