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--- quaternions:equations-degre-1 [2020/08/03 19:57] – [Transformations] admin
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+[[:quaternions|Formulaire]]
 ====== Équations quaternioniques du premier degré  ======
-Une équations quaternioniques du premier degré est une équation de la forme
-$ $AX + QX + C = 0$ $
+===== Équations de la forme  $AX + QX + C = 0$  =====
 où  $A,B,C,X \in \mathbb{H}$
-===== Transformations =====
-$$
-\begin{array}{rcl}
+==== Réduction à un seul terme en $X$ ====
-AX+XB+C=0 & \leftrightarrow & X(2\mathbb{S}(A+B)B+\left|A\right|^{2}-\left|B\right|^{2})=-\bar{A}C-CB \\
-          & \leftrightarrow & (2\mathbb{S}(A+B)A+\left|B\right|^{2}-\left|A\right|^{2})X=-AC-C\bar{B}\\
-\end{array}
-$$
-^ Équation ^ Équivalente à ^
+^ ID ^ Équation ^ Équivalente à ^
-| $AX+XB+C=0$  |  $X(eB + f) = D$  <html><br></html> où  $e = 2\mathbb{S}(A+B)$ ,  $f = |A|^{2}-|B|^{2}$ ,  $D =-\overline{A}C-CB$  |
+| red-1 | $AX+XB+C=0$  |  $X(eB + f) = D$  |
-| $AX+XB+C=0$  | $(eA - f)X = E $ <html><br></html> où $e = 2\mathbb{S}(A+B) $,$ f = |A|^{2}-|B|^{2}) $,$ E =-AC-C\overline{B}$ |
+| red-2 | $AX+XB+C=0$  |  $(eA - f)X = E$  |
+où  $e = 2\mathbb{S}(A+B)$ ,  $f = |A|^{2}-|B|^{2}$ , $D =-\overline{A}C-CB $,$ E =-AC-C\overline{B}$ |
+==== Résolution ====
+^ Équation ^ Solution ^
+| $AX+XB+C=0$  | $$X = \frac{D(\overline{eB+f})}{|eB+f|^2} = \frac{De\overline{B}+Df}{|eB+f|^2}$$ <html><br></html> ou de manière équivalente <html><br></html> $$X = \frac{(\overline{eA-f})E}{|eA-f|^2} = \frac{e\overline{A}E-fE}{|eA-f|^2}$$ |
+==== Équations dégénérées ====
+Lorsque $eB-f = 0$
+Exemples:
+|  $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$  | n'a pas de solution. multiplier à gauche par  $e_{1}$ , puis à droite par $e_{2}$, additionner $ \to 0=e_{1}+e_{2}$ |
+|  $e_1 X + X e_1 = 0$  | a une infinité de solutions de la forme  $q_2 e_2 + q_3 e_3$  |
 ===== Preuves =====
+==== red-1 ====
 À partir de  $AX+XB+C=0$ , si on multiplie par  $\overline{A}$  à gauche on obtient
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 Par addition on obtient
  $2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$
-d'où
+$$\to X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
- $X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$
+$$\to X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
-d'où
+ $\to X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$
- $X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$
+qu'on écrit
-et donc
+$$X(eB+f)=D$$
- $X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$
+==== red-2 ====
+À partir de  $AX+XB+C=0$ , si on multiplie par  $\overline{B}$  à droite on obtient
+ $AX\overline{B}+X|B|^2+C\overline{B}=0.$
+Si on multiplie à gauche par  $A$  on obtient
+ $A^2X+AXB+AC=0.$
+Par addition on obtient
+$$2\mathbb{S}(B)AX+(A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$
+ $\to (2\mathbb{S}(B)A+A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$
+$$ \to (2\mathbb{S}(B)A+2\mathbb{S}(A)A-|A|^2 + |B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$
+$$ \to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$
+$$ \to (eA - f)X = E$$