Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- quaternions:definitions [2020/08/03 12:05] – [Propriétés] admin
+++ quaternions:definitions [2023/11/01 14:44] (current) – external edit 127.0.0.1
@@ Line 2: / Line 2: @@
 ====== Quaternions ======
-Un **quaternion** est un élément du corps gauche $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que $e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
+Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que ${e_1}^{2}={e_2}^{2}={e_3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
 Un quaternion $Q$ peut s'écrire sous la forme $q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ où les $q_{i}$ sont des réels.
 Si un quaternion est noté par une lettre, disons $P$, ses composantes seront en général notées $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}$.
+**Remarque.** En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaterniques habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.
+D'autre part, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}ae_{i}$, voire $a_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein.
 ===== Propriétés des unités quaternioniennes =====
@@ Line 15: / Line 20: @@
 | $e_i e_j = -e_j e_i$ | pour $i,j \in \{1,2,3 \}$ et  $i \ne j$ |
-**Remarque.** En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaterniques habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.
-D'autre part, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}ae_{i}$, voire $a_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein.
 ===== Opérations et fonctions de base =====
@@ Line 39: / Line 41: @@
 | extraction de la partie scalaire    | $\mathbb{S}(Q)=\frac{1}{2}(Q+\overline{Q})$ |
 | extraction de la partie vectorielle | $\mathbb{V}(Q)=\frac{1}{2}(Q-\overline{Q})$ |
-| extraction d'un $q_i$               | $q_{i}=\mathbb{S}(Q\overline{e_{i}})$ |
+| détermination d'un $q_n$            | $q_{n}=\mathbb{S}(Q\overline{e_{n}})$ |
 | multiplication                      | $PQ=\mathbb{S}(P)\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(P)\cdot\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(P)\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(Q)\mathbb{V}(P)+\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q)$ <html><br></html>//$\cdot$ : produit scalaire, $\wedge$: produit vectoriel de $\mathbb{R}^3$//|
 | :::                                 | $PQ=p_{0}q_{0}-\vec{P}\cdot\vec{Q}+p_{0}\vec{Q}+q_{0}\vec{P}+\vec{P}\wedge\vec{Q}$ |
-| non commutativité                   | $PQ - QP = \mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q) - \mathbb{V}(Q)\wedge\mathbb{V}(P) = 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ |
 | carré                               | $Q^{2}=2\mathbb{S}(Q)Q-\left|Q\right|^{2}$  |
 | si $Q=\vec{V}$ est purement vectoriel) | $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$  |
+| non commutativité                   | $ QP = PQ - 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ |
+|                                     | $ QP = PQ - 2\mathbb{V}(P)\mathbb{V}(Q) - 2\mathbb{V}(P) \cdot \mathbb{V}(Q)$ |
 | conjugaisons                        | $\overline{(\overline{Q})}=Q$ |
 | :::                                   | $\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$ |
 | :::                                 | $\overline{PQ}=\overline{Q}\ \overline{P}$ |
-| conjugaison à partir des unités     | $\overline{Q}=-\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{3}{e_{i}Qe_{i}}\text{}$ |
+| conjugaison à l'aide des unités     | $\overline{Q}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{3}{e_{n}Qe_{n}}\text{}$ |
+| partie scalaire                     | $\mathbb{S}(Q) = -\frac{1}{4}\sum_{n=0}^3{e_n Q \overline{e_n}}$ <html><br></html>que l'on peut ensuite combiner avec la détermination des $q_n$ |
 | norme                               | $\left|Q\right|=\sqrt{q_{0}^{2}+|\vec{Q}|^{2}}$ |
 | :::                                 | $|P+Q]^{2}=|P|^{2}+|Q|^{2}+2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ |
-| inversion ($Q$ non nul)             | $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{Q\overline{Q}}$ |
+| inversion ($Q$ non nul)             | $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$ |
-| :::                                 | $=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$ |
+| inversion des unités                | $e_i^{-1} = \overline{e_i} \qquad i=0,...,3$ |
-| inversion et conjugaison            | $Q^{-1}==\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_0^{2}+q_1^{2}+q_2^{2}+q_3^{2}}\ \overline{Q}$ |
+| inversion et conjugaison            | $\overline{Q^{-1}}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
-| :::                                 | $\overline{Q^{-1}}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
 | :::                                 | $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
 | :::                                 | $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $ |
-| exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(\mathbb{V}(Q))+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(\mathbb{V}(Q))\right) $ |
+| <html><a name="exp"></html>exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(|\mathbb{V}(Q)|)+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(|\mathbb{V}(Q)|)\right) $ |
@@ Line 69: / Line 72: @@
 \end{array}\right)$$
-est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2,\mathbb{C}) $
+est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2,\mathbb{C}) $. Autrement dit, on peut représenter tout quaternion par une matrice $2 \times 2$ complexe de la forme ci-dessus. Les physiciens auraient tendance à préférer le forme
+$$Q \mapsto \left(\begin{array}{cc}
+q_{0}+iq_3 & q_1+iq_2\\
+-q_1+iq_2 & q_{0}-iq_3
+\end{array}\right)$$
-  * l'addition et la multiplication quaternioniques correspondent à l'addition et à la multiplication matricielles
+  * l'addition et la multiplication quaternioniennes correspondent à l'addition et à la multiplication matricielles
   * la conjugaison correspond à la transposition conjugaison des matrices $2 \times 2$ complexes
 ==== Forme exponentielle ====
-Pour tout quaternion $Q$ on a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) $\vec{u}$ et $0\le\theta<2\pi$ tels que
+À tout quaternion $Q = q_0 + \vec{Q}$ avec $\vec{Q} \ne  0$  on peut associer a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) et colinéaire à $\vec{Q}$, noté $\vec{u}$, et  $0\le\theta<2\pi$ tel que
 $$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$
-et
-  * $\mathbb{S}(Q)=|Q|\cos(\theta) $
-  * $\mathbb{V}(Q)=\vec{u}|\mathbb{V}(Q)|=\vec{u}|Q|\sin(\theta)|$
-====== Biquaternions ======
-Un **biquaternion** est un élément de l'anneau $\mathbb{B}$ qui est l'extension des complexes engendrée par les quaternioniennes $e_1, e_2, e_3$.
-Un biquaternion $Z$ peut s'écrire sous la forme $z_{0}+z_{1}e_{1}+z_{2}e_{2}+z_{3}e_{3}$ où les $z_{i}$ sont des nombres complexes. Si on regroupe les parties réelles et imaginaires des $z_{i}$, un biquaternion peut s'écrire sous la forme $A+Bi$ où $A$ et $B$ sont des quaternions.
-===== Opérations =====
+Les transformations vers et de la forme exponentielle se calculent ainsi:
+| $Q$ | $\to$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ <html><br></html>$\theta = acos(q_0/|Q|)$ <html><br></html> $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|sin\theta)$ |
+| $Q$ <html><br></html> $q_0 = |Q|cos\theta$ <html><br></html> $\vec{Q} = \vec{u}|Q|sin\theta$ | $\leftarrow$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ |
-Les opérations partie scalaire, partie vectorielle, addition, multiplication, conjugaison, norme, exponentielle sont définies de la même manière que pour les quaternions, en remplaçant les opérations sur les réels par leur correspondant sur les complexes.
+Si  $\vec{Q} = 0$  alors  $\vec{u}$ peut être choisi arbitrairement. Par exemple,  $Q= –1 = |1| e^{(2n+1)\pi \vec{u} }$ pour $n$ un entier quelconque et $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire quelconque.
-Il y a trois opérations de conjugaison sur un biquaternion $Z = z_0 + z_1 e_1 + z_2 e_2 + z_3 e_3$ :
-| conjugué            | $\overline{Z}$ | $\mathbb{S}(Z)-\mathbb{V}(Z) = z_0 - z_1 e_1 - z_2 e_2 - z_3 e_3$ |
-| conjugué imaginaire | $Z^{*}$ | $\sum z_{i}^{*}e_{i}$ |
-| conjugué hermitien  | $Z^{+}$     | $\overline{Z^{*}}.$ |
-où $z_{i}^{*}$ désigne la conjugaison complexe.