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 [[:quaternions|Formulaire]]
 ====== Quaternions ======
+===== Structures algébriques =====
+==== Quaternions ====
 Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que ${e_1}^{2}={e_2}^{2}={e_3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
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 La **partie vectorielle** d'un quaternion $Q = q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$, notée $\mathbb{V}(Q)$ ou $\vec{Q}$, est le quaternion  $q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$.
+==== Biquaternions ====
+==== Pseudo-quaternions ====
+==== $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ ====
+==== Algèbres de Clifford ====
+(toutes les matrices des choses d'au-dessus)
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 Sauf indication contraire nous emploierons le vocabulaire suivant
-^ Notation ^ Type ^
+^ Notation ^ Désigne ^
-| $P, Q, R, ...$ | quaternions |
+| $P, Q, R, ...$ | des quaternions |
-| $R, R_1, R_2, ... $ | quaternions utilisés dans des rotations |
+| $\mathcal{R}, \mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2, ... $ | des quaternions utilisés dans des rotations |
-| $\vec{V}, \vec{W}, ... $ | quaternions purement vectoriels (partie scalaire nulle) |
+| $\mathcal{L}, \mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2, ... $ | des biquaternions utilisés dans la description des transformations de Lorentz |
-| $U, U_1, U_2, ...$ | quaternions unitaires (de norme 1) |
+| $\vec{V}, \vec{W}, ... $ | des quaternions purement vectoriels (partie scalaire nulle) |
-| $\vec{u}, \vec{u}_1, \vec{u}_2, ...$ | quaternions unitaires purement vectoriels |
+| $U, U_1, U_2, ...$ | des quaternions unitaires (de norme 1) |
+| $\vec{u}, \vec{u}_1, \vec{u}_2, ...$ | des quaternions unitaires purement vectoriels |
+| $p_0, q_0, r_0, ...$ | les parties scalaires des quaternions $P, Q, R, ...$ |
+| $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, ...$ | les parties vectorielles des quaternions $P, Q, R, ...$ |
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 ==== Forme exponentielle ====
-À tout quaternion $Q = q_0 + \vec{Q}$ avec $\vec{Q} \ne  0$  on peut associer a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) et colinéaire à $\vec{Q}$, noté $\vec{u}$, et  $0\le\theta<2\pi$ tel que
+À tout quaternion $Q = q_0 + \vec{Q}$ avec $\vec{Q} \ne  0$  on peut associer un quaternion purement vectoriel et unitaire $\vec{u}$ et colinéaire à $\vec{Q}$ et  un angle $0\le\theta<2\pi$ tels que
 $$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$
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 ==== Preuve. Expression de l'exponentielle ====
-Soit $Q = s + \vec{v}$ ou $s = \mathbb{S}(Q)$ et $\vec{v} = \mathbb{V}({Q})$.
+Soit $Q=q_0+\vec{q}$ où $q_0=\mathbb{S}(Q)$ et $\vec{q}=\mathbb{V}({Q})$.
 On veut prouver :
 \[
-\exp(Q) = \exp(s) \left( \cos(|\vec{v}|) + \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \sin(|\vec{v}|) \right).
+\exp(Q)=\exp(q_{0})\left(\cos(|\vec{q}|)+\frac{\vec{q}}{|\vec{q}|}\sin(|\vec{q}|)\right).
 \]
-Note: Si \( \vec{v} = \vec{0} \), alors \( \exp(Q) = \exp(s) \), ce qui est consistant avec la limite \( |\vec{v}| \to 0 \).
+Note: Si $\vec{q}=\vec{0}$, alors $\exp(Q)=\exp(q_{0})$, ce qui
+est consistant avec la limite $|\vec{q}|\to0$.
 L'exponentielle est définie par
 \[
-\exp(Q) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{Q^k}{k!}.
+\exp(Q)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{Q^{k}}{k!}.
 \]
-== Propriété importante d'un quaternion purement vectoriel $\vec{v}$ :  ==
+Le quaternion $\vec{q}$ étant purement vectoriel on a
+:
-\[ \vec{v}^2 = -|\vec{v}|^2 .\] (Provient de la formule de multiplication: \( \vec{v}_1 \vec{v}_2 = -\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 + \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 \), donc \( \vec{v}^2 = -|\vec{v}|^2 \).)
+\[
+\vec{q}^{2}=-|\vec{q}|^{2}.
+\]
-Comme \( s \) est scalaire et \( \vec{v} \) est vectoriel ils commutent \( s \vec{v} = \vec{v} s \).
+Comme $q_{0}$ est scalaire et $\vec{q}$ est vectoriel ils commutent
+$q_{0}\vec{q}=\vec{q}q_{0}$.
 Donc on peut factoriser l'exponentielle selon la formule habituelle
 \[
-\exp(Q) = \exp(s + \vec{v}) = \exp(s) \exp(\vec{v}).
+\exp(Q)=\exp(q_{0}+\vec{q})=\exp(q_{0})\exp(\vec{q}).
 \]
-Nous devons donc calculer \( \exp(\vec{v}) \).
+Nous devons donc calculer $\exp(\vec{q})$.
-Soit \( \vec{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \), de sorte que \( \vec{u} \) soit un vecteur unitaire et \( \vec{v} = |\vec{v}| \vec{u} \). Alors, on a :
+Soit $\vec{u}=\frac{\vec{q}}{|\vec{q}|}$, de sorte que $\vec{u}$
+soit un vecteur unitaire et $\vec{q}=|\vec{q}|\vec{u}$. Alors, on
+a :
 \[
-\exp(\vec{v}) = \exp(|\vec{v}| \vec{u}).
+\exp(\vec{q})=\exp(|\vec{q}|\vec{u}).
 \]
-Maintenant, notons que \( \vec{u} \) est un quaternion pur unitaire, donc \( \vec{u}^2 = -1 \).
+Maintenant, notons que $\vec{u}$ est un quaternion pur unitaire,
+donc $\vec{u}^{2}=-1$.
-En utilisant la série entière :
+On utilise la définition de $\exp()$ :
 \[
-\exp(|\vec{v}| \vec{u}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(|\vec{v}| \vec{u})^k}{k!}.
+\exp(|\vec{q}|\vec{u})=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(|\vec{q}|\vec{u})^{k}}{k!}.
 \]
 On sépare les puissances paires et impaires dans la série:
-- Pour \( k = 2m \) pair : \[(|\vec{v}| \vec{u})^{2m} = (|\vec{v}|^{2m} (\vec{u}^{2})^m = (|\vec{v}|^{2m} (-1)^m = (-1)^m |\vec{v}|^{2m}.\]
+- Pour $k=2m$ pair :
-- Pour les puissances impaires \( k = 2m+1 \): \[(|\vec{v}| \vec{u})^{2m+1} = |\vec{v}|^{2m+1} \vec{u} (\vec{u}^2)^m = |\vec{v}|^{2m+1} \vec{u} (-1)^m.\]
+\[
+(|\vec{q}|\vec{u})^{2m}=(|\vec{q}|^{2m}(\vec{u}^{2})^{m}=(|\vec{q}|^{2m}(-1)^{m}=(-1)^{m}|\vec{q}|^{2m}.
+\]
+- Pour les puissances impaires $k=2m+1$:
+\[
+(|\vec{q}|\vec{u})^{2m+1}=|\vec{q}|^{2m+1}\vec{u}(\vec{u}^{2})^{m}=|\vec{q}|^{2m+1}\vec{u}(-1)^{m}.
+\]
 Par conséquent :
 \[
-\exp(|\vec{v}| \vec{u}) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m}}{(2m)!} + \vec{u} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m+1}}{(2m+1)!}.
+\exp(|\vec{q}|\vec{u})=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}|\vec{q}|^{2m}}{(2m)!}+\vec{u}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}|\vec{q}|^{2m+1}}{(2m+1)!}.
 \]
 On reconnait la série de Taylor pour le cosinus et le sinus :
 \[
-\cos(|\vec{v}|) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m}}{(2m)!}, \quad \sin(|\vec{v}|) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m+1}}{(2m+1)!}.
+\cos(|\vec{q}|)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}|\vec{q}|^{2m}}{(2m)!},\quad\sin(|\vec{q}|)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}|\vec{q}|^{2m+1}}{(2m+1)!}.
 \]
 Ainsi,
 \[
-\exp(\vec{v}) = \exp(|\vec{v}| \vec{u}) = \cos(|\vec{v}|) + \vec{u} \sin(|\vec{v}|) = \cos(|\vec{v}|) + \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\sin(|\vec{v}|)
+\exp(\vec{q})=\exp(|\vec{q}|\vec{u})=\cos(|\vec{q}|)+\vec{u}\sin(|\vec{q}|)=\cos(|\vec{q}|)+\frac{\vec{q}}{|\vec{q}|}\sin(|\vec{q}|)
 \]
-Comme \( \exp(Q) = \exp(s) \exp(\vec{v}) \), on a:
+Comme $\exp(Q)=\exp(q_{0})\exp(\vec{q})$, on a:
 \[
-\exp(Q) = \exp(s) \left( \cos(|\vec{v}|) + \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \sin(|\vec{v}|) \right).
+\exp(Q)=\exp(q_{0})\left(\cos(|\vec{q}|)+\frac{\vec{q}}{|\vec{q}|}\sin(|\vec{q}|)\right).
 \]
 $\square$
 ==== Preuve. Mise sous forme exponentielle ====