Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- quaternions:definitions [2025/09/18 22:49] – [Preuve. Mise sous forme exponentielle] admin
+++ quaternions:definitions [2025/10/02 15:13] (current) – admin
@@ Line 1: / Line 1: @@
 [[:quaternions|Formulaire]]
 ====== Quaternions ======
+===== Structures algébriques =====
+==== Quaternions ====
 Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que ${e_1}^{2}={e_2}^{2}={e_3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
@@ Line 8: / Line 13: @@
 Si un quaternion est noté par une lettre, disons $P$, ses composantes seront en général notées $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}$.
-===== Convention de notation =====
+La **partie scalaire** d'un quaternion $Q = q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$, notée $\mathbb{S}(Q)$, est le nombre réel $q_0$.
+La **partie vectorielle** d'un quaternion $Q = q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$, notée $\mathbb{V}(Q)$ ou $\vec{Q}$, est le quaternion  $q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$.
+==== Biquaternions ====
+==== Pseudo-quaternions ====
+==== $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ ====
+==== Algèbres de Clifford ====
+(toutes les matrices des choses d'au-dessus)
-Étant donné le nombre limité de lettres romaines et grecques majuscules et minuscules il est impossible de prendre une convention qui permette de distinguer en toutes circonstances les entiers, les réels, les complexes, les quaternions, les biquaternions, les variables, les constantes, etc. Ce d'autant plus que les habitudes des mathématiciens et des physiciens divergent.
-Dans les articles mathématiques les quaternions sont en général désignés par des lettres romaines minuscules $p,q,r,\ldots$ alors que les physiciens utilisent de préférence des majuscules $P,Q,R,\ldots$.
-Dans ce formulaire nous utiliserons généralement la notation des physiciens. Les lettres romaines minuscules pour les réels et les majuscules pour les quaternions.
 ===== Remarque cruciale =====
@@ Line 39: / Line 54: @@
 ^ Opération ^ Notation ^ Définition ^
-| partie scalaire        | $\mathbb{S}(Q)$              | $q_{0}$ |
-| partie vectorielle     | $\mathbb{V}(Q)$ ou $\vec{Q}$ | $q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ |
 | conjugué quaternionien | $\overline{Q}$               | $\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(Q) = q_0 -q_1 e_1 - q_2 e_2 - q_3 e_3$ |
 | addition               | $P+Q$                        | $\sum(p_{i}+q_{i})e_{i}$ |
@@ Line 48: / Line 61: @@
+===== Convention de notation =====
+Étant donné le nombre limité de lettres romaines et grecques majuscules et minuscules il est impossible de prendre une convention qui permette de distinguer en toutes circonstances les entiers, les réels, les complexes, les quaternions, les biquaternions, les variables, les constantes, etc. Ce d'autant plus que les habitudes des mathématiciens et des physiciens divergent.
+Dans les articles mathématiques les quaternions sont en général désignés par des lettres romaines minuscules $p,q,r,\ldots$ alors que les physiciens utilisent de préférence des majuscules $P,Q,R,\ldots$.
+Dans ce formulaire nous utiliserons généralement la notation des physiciens. Les lettres romaines minuscules pour les réels et les majuscules pour les quaternions.
+Sauf indication contraire nous emploierons le vocabulaire suivant
+^ Notation ^ Désigne ^
+| $P, Q, R, ...$ | des quaternions |
+| $\mathcal{R}, \mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2, ... $ | des quaternions utilisés dans des rotations |
+| $\mathcal{L}, \mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2, ... $ | des biquaternions utilisés dans la description des transformations de Lorentz |
+| $\vec{V}, \vec{W}, ... $ | des quaternions purement vectoriels (partie scalaire nulle) |
+| $U, U_1, U_2, ...$ | des quaternions unitaires (de norme 1) |
+| $\vec{u}, \vec{u}_1, \vec{u}_2, ...$ | des quaternions unitaires purement vectoriels |
+| $p_0, q_0, r_0, ...$ | les parties scalaires des quaternions $P, Q, R, ...$ |
+| $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, ...$ | les parties vectorielles des quaternions $P, Q, R, ...$ |
@@ Line 101: / Line 133: @@
 ==== Forme exponentielle ====
-À tout quaternion $Q = q_0 + \vec{Q}$ avec $\vec{Q} \ne  0$  on peut associer a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) et colinéaire à $\vec{Q}$, noté $\vec{u}$, et  $0\le\theta<2\pi$ tel que
+À tout quaternion $Q = q_0 + \vec{Q}$ avec $\vec{Q} \ne  0$  on peut associer un quaternion purement vectoriel et unitaire $\vec{u}$ et colinéaire à $\vec{Q}$ et  un angle $0\le\theta<2\pi$ tels que
 $$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$
@@ Line 110: / Line 142: @@
 | mise sous forme scalaire $\times$ quaternion unitaire | $Q = |Q|(\cos\theta + \vec{u}\sin\theta)$ \\ avec $\theta = \arccos(q_0/|Q|)$, $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|\sin\theta)$ |
 | pour un quaternion unitaire | $Q = \cos\theta + \vec{u}\sin\theta = e^{\vec{u}\theta}$ |
-==== Rotations ====
+===== Rotations =====
 Un quaternion $R = \cos(\theta/2) + \vec{u}\sin(\theta/2)$ (de norme 1) représentant un "turn", c'est-à-dire un opérateur qui "fait tourner" vecteurs et spineurs.
@@ Line 124: / Line 156: @@
 | calcul de la rotation d'un vecteur $\vec{v}$ | $ \vec{v'} = R\vec{v}\overline{R} $ |
-=== Décompositions 🏗️ ===
+===== Décompositions 🏗️ =====
 | Scalaire * Q. Unitaire | $Q$ | $Q=s\hat{U}$ | $s=|Q|, \hat{U}=Q/|Q|$ |
-| Vecteur * Q. Unitaire | $Q$, $\vec{u}$ vecteur unitaire | $Q=\vec{V}e^{\theta\vec{u}}$ | |
+| Vecteur * Q. Unitaire | $Q$, $\vec{u}$ vecteur unitaire | $Q=\vec{V}e^{\theta\vec{u}}$  \\ [[#Preuve. Décomposition Vecteur * Unitaire |$\to$ Preuve]] | $\theta = -\arctan\left( q_0 / (\vec{q} \cdot \vec{u}) \right) $ \\ $\vec{V} = Q e^{-\theta \vec{u}}$|
@@ Line 137: / Line 169: @@
 ==== Preuve. Expression de l'exponentielle ====
-Soit $Q = s + \vec{v}$ ou $s = \mathbb{S}(Q)$ et $\vec{v} = \mathbb{V}({Q})$.
+Soit $Q=q_0+\vec{q}$ où $q_0=\mathbb{S}(Q)$ et $\vec{q}=\mathbb{V}({Q})$.
 On veut prouver :
 \[
-\exp(Q) = \exp(s) \left( \cos(|\vec{v}|) + \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \sin(|\vec{v}|) \right).
+\exp(Q)=\exp(q_{0})\left(\cos(|\vec{q}|)+\frac{\vec{q}}{|\vec{q}|}\sin(|\vec{q}|)\right).
 \]
-Note: Si \( \vec{v} = \vec{0} \), alors \( \exp(Q) = \exp(s) \), ce qui est consistant avec la limite \( |\vec{v}| \to 0 \).
+Note: Si $\vec{q}=\vec{0}$, alors $\exp(Q)=\exp(q_{0})$, ce qui
+est consistant avec la limite $|\vec{q}|\to0$.
 L'exponentielle est définie par
 \[
-\exp(Q) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{Q^k}{k!}.
+\exp(Q)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{Q^{k}}{k!}.
 \]
-== Propriété importante d'un quaternion purement vectoriel $\vec{v}$ :  ==
+Le quaternion $\vec{q}$ étant purement vectoriel on a
+:
-\[ \vec{v}^2 = -|\vec{v}|^2 .\] (Provient de la formule de multiplication: \( \vec{v}_1 \vec{v}_2 = -\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 + \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 \), donc \( \vec{v}^2 = -|\vec{v}|^2 \).)
+\[
+\vec{q}^{2}=-|\vec{q}|^{2}.
+\]
-Comme \( s \) est scalaire et \( \vec{v} \) est vectoriel ils commutent \( s \vec{v} = \vec{v} s \).
+Comme $q_{0}$ est scalaire et $\vec{q}$ est vectoriel ils commutent
+$q_{0}\vec{q}=\vec{q}q_{0}$.
 Donc on peut factoriser l'exponentielle selon la formule habituelle
 \[
-\exp(Q) = \exp(s + \vec{v}) = \exp(s) \exp(\vec{v}).
+\exp(Q)=\exp(q_{0}+\vec{q})=\exp(q_{0})\exp(\vec{q}).
 \]
-Nous devons donc calculer \( \exp(\vec{v}) \).
+Nous devons donc calculer $\exp(\vec{q})$.
-Soit \( \vec{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \), de sorte que \( \vec{u} \) soit un vecteur unitaire et \( \vec{v} = |\vec{v}| \vec{u} \). Alors, on a :
+Soit $\vec{u}=\frac{\vec{q}}{|\vec{q}|}$, de sorte que $\vec{u}$
+soit un vecteur unitaire et $\vec{q}=|\vec{q}|\vec{u}$. Alors, on
+a :
 \[
-\exp(\vec{v}) = \exp(|\vec{v}| \vec{u}).
+\exp(\vec{q})=\exp(|\vec{q}|\vec{u}).
 \]
-Maintenant, notons que \( \vec{u} \) est un quaternion pur unitaire, donc \( \vec{u}^2 = -1 \).
+Maintenant, notons que $\vec{u}$ est un quaternion pur unitaire,
+donc $\vec{u}^{2}=-1$.
-En utilisant la série entière :
+On utilise la définition de $\exp()$ :
 \[
-\exp(|\vec{v}| \vec{u}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(|\vec{v}| \vec{u})^k}{k!}.
+\exp(|\vec{q}|\vec{u})=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(|\vec{q}|\vec{u})^{k}}{k!}.
 \]
 On sépare les puissances paires et impaires dans la série:
-- Pour \( k = 2m \) pair : \[(|\vec{v}| \vec{u})^{2m} = (|\vec{v}|^{2m} (\vec{u}^{2})^m = (|\vec{v}|^{2m} (-1)^m = (-1)^m |\vec{v}|^{2m}.\]
+- Pour $k=2m$ pair :
-- Pour les puissances impaires \( k = 2m+1 \): \[(|\vec{v}| \vec{u})^{2m+1} = |\vec{v}|^{2m+1} \vec{u} (\vec{u}^2)^m = |\vec{v}|^{2m+1} \vec{u} (-1)^m.\]
+\[
+(|\vec{q}|\vec{u})^{2m}=(|\vec{q}|^{2m}(\vec{u}^{2})^{m}=(|\vec{q}|^{2m}(-1)^{m}=(-1)^{m}|\vec{q}|^{2m}.
+\]
+- Pour les puissances impaires $k=2m+1$:
+\[
+(|\vec{q}|\vec{u})^{2m+1}=|\vec{q}|^{2m+1}\vec{u}(\vec{u}^{2})^{m}=|\vec{q}|^{2m+1}\vec{u}(-1)^{m}.
+\]
 Par conséquent :
 \[
-\exp(|\vec{v}| \vec{u}) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m}}{(2m)!} + \vec{u} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m+1}}{(2m+1)!}.
+\exp(|\vec{q}|\vec{u})=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}|\vec{q}|^{2m}}{(2m)!}+\vec{u}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}|\vec{q}|^{2m+1}}{(2m+1)!}.
 \]
 On reconnait la série de Taylor pour le cosinus et le sinus :
 \[
-\cos(|\vec{v}|) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m}}{(2m)!}, \quad \sin(|\vec{v}|) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m+1}}{(2m+1)!}.
+\cos(|\vec{q}|)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}|\vec{q}|^{2m}}{(2m)!},\quad\sin(|\vec{q}|)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}|\vec{q}|^{2m+1}}{(2m+1)!}.
 \]
 Ainsi,
 \[
-\exp(\vec{v}) = \exp(|\vec{v}| \vec{u}) = \cos(|\vec{v}|) + \vec{u} \sin(|\vec{v}|) = \cos(|\vec{v}|) + \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\sin(|\vec{v}|)
+\exp(\vec{q})=\exp(|\vec{q}|\vec{u})=\cos(|\vec{q}|)+\vec{u}\sin(|\vec{q}|)=\cos(|\vec{q}|)+\frac{\vec{q}}{|\vec{q}|}\sin(|\vec{q}|)
 \]
-Comme \( \exp(Q) = \exp(s) \exp(\vec{v}) \), on a:
+Comme $\exp(Q)=\exp(q_{0})\exp(\vec{q})$, on a:
 \[
-\exp(Q) = \exp(s) \left( \cos(|\vec{v}|) + \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \sin(|\vec{v}|) \right).
+\exp(Q)=\exp(q_{0})\left(\cos(|\vec{q}|)+\frac{\vec{q}}{|\vec{q}|}\sin(|\vec{q}|)\right).
 \]
 $\square$
 ==== Preuve. Mise sous forme exponentielle ====
@@ Line 231: / Line 276: @@
 ==== Preuve. Décomposition Vecteur * Unitaire ====
-Étant donnés $Q$ et $\vec{u}$ un vecteur unitaire, on doit trouver $\vec{V}$ et $\theta$ tels que
+Étant donnés un quaternion $Q$ et quaternion vectoriel unitaire $\vec{u}$, on doit trouver $\vec{V}$ et $\theta$ tels que
 $$Q = \vec{V}e^{\theta \vec{u}}$$
 En multipliant à droite par $e^{-\theta \vec{u}}$ on obient
 $$\vec{V}=Q e^{-\theta \vec{u}}$$
 La partie scalaire de $\vec{V}$ doit être nulle donc
-$$\mathbb{S}\left( Q e^{-\theta \vec{u}} \right) =\left( \sum{q_i e_i} \right)(\cos(-\theta)+\vec{u}\sin(-\theta)) = 0$$
+$$\mathbb{S}\left( Q e^{-\theta \vec{u}} \right) =\mathbb{S}\left( \left( \sum{q_i e_i} \right)(\cos(-\theta)+\vec{u}\sin(-\theta)) \right) = 0$$
+donc
+$$q_0\cos(-\theta) - (q_1 u_1 + q_2 u_2 + q_3 u_3)\sin(-\theta) = 0$$
+d’où (en divisant par $\cos(-\theta)$
+$$q_0= (q_1 u_1 + q_2 u_2 + q_3 u_3)\tan(-\theta)$$
+et enfin
+$$\theta = -\arctan\left( \frac{q_0}{q_1 u_1 + q_2 u_2 + q_3 u_3} \right) = -\arctan\left( \frac{q_0}{\vec{q}\cdot\vec{u}} \right)$$