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--- quaternions:definitions [2025/09/04 08:46] – [Preuves] admin
+++ quaternions:definitions [2025/09/15 21:12] (current) – [Forme exponentielle] admin
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 Si un quaternion est noté par une lettre, disons $P$, ses composantes seront en général notées $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}$.
+===== Convention de notation =====
+Étant donné le nombre limité de lettres romaines et grecques majuscules et minuscules il est impossible de prendre une convention qui permette de distinguer en toutes circonstances les entiers, les réels, les complexes, les quaternions, les biquaternions, les variables, les constantes, etc. Ce d'autant plus que les habitudes des mathématiciens et des physiciens divergent.
+Dans les articles mathématiques les quaternions sont en général désignés par des lettres romaines minuscules $p,q,r,\ldots$ alors que les physiciens utilisent de préférence des majuscules $P,Q,R,\ldots$.
+Dans ce formulaire nous utiliserons généralement la notation des physiciens. Les lettres romaines minuscules pour les réels et les majuscules pour les quaternions.
 ===== Remarque cruciale =====
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 | :::                                 | $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
 | :::                                 | $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $ |
-| exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(|\mathbb{V}(Q)|)+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(|\mathbb{V}(Q)|)\right) $ |
+| exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(|\mathbb{V}(Q)|)+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(|\mathbb{V}(Q)|)\right) $ \\ [[#Preuve. Expression de l'exponentielle|$\to$ Preuve]] |
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 Les transformations vers et de la forme exponentielle se calculent ainsi:
-| mise sous forme exponentielle | $Q = |Q|e^{\vec{u}\theta}$ \\ avec $\theta = \arccos(q_0/|Q|)$, $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|\sin\theta)$ | Si  $\vec{Q} = 0$  alors  $\vec{u}$ peut être choisi arbitrairement. Par exemple,  $Q= –1 = |1| e^{(2n+1)\pi \vec{u} }$ pour $n$ un entier quelconque et $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire quelconque. |
+| mise sous forme exponentielle | $Q = |Q|e^{\vec{u}\theta}$ \\ avec $\theta = \arccos(q_0/|Q|)$, $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|\sin\theta)$ \\ [[#Preuve. Mise sous forme exponentielle|$\to$ Preuve]]| Si  $\vec{Q} = 0$  alors  $\vec{u}$ peut être choisi arbitrairement. \\ Par exemple,  $Q= –1 = e^{(2n+1)\pi \vec{u} }$ pour $n$ un entier quelconque et $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire quelconque.  |
 | mise sous forme de composantes | $\alpha e^{\vec{u}\theta} = \alpha (\cos\theta + \vec{u}\sin\theta$) |
 | mise sous forme scalaire $\times$ quaternion unitaire | $Q = |Q|(\cos\theta + \vec{u}\sin\theta)$ \\ avec $\theta = \arccos(q_0/|Q|)$, $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|\sin\theta)$ |
+| pour un quaternion unitaire | $Q = \cos\theta + \vec{u}\sin\theta = e^{\vec{u}\theta}$ |
+==== Rotations ====
+Un quaternion $R = \cos(\theta/2) + \vec{u}\sin(\theta/2)$ (de norme 1) représentant un "turn", c'est-à-dire un opérateur qui "fait tourner" vecteurs et spineurs.
+L'opérateur de rotation d'un trivecteur $\vec{v}$ de $\mathbb{R}^3$ d'un angle $\theta$ autour de l'axe $\vec{u}$  s'écrit avec deux turns :
+$$R \vec{v} \overline{R}.$$
+Pour cette raison le paramètre dans le turn s'écrit avec $\theta/2$ (et pour que l'angle de rotation du vecteur puisse être de 360°, la graduation de $\theta$ doit aller de 0° à 720°)
-===== Convention de notation =====
-Étant donné le nombre limité de lettres romaines et grecques majuscules et minuscules il est impossible de prendre une convention qui permette de distinguer en toutes circonstances les entiers, les réels, les complexes, les quaternions, les biquaternions, les variables, les constantes, etc. Ce d'autant plus que les habitudes des mathématiciens et des physiciens divergent.
+| quaternion utilisé pour une rotation d'angle $\theta$ autour de l'axe $\vec{u}$ \\ (dans le sens horaire si on regarde dans la direction de $\vec{u}$) | $R = \cos(\theta/2) + \vec{u}\sin(\theta/2)$ \\ avec $\vec{u}$ est un quaternion vectoriel unitaire |
+| calcul de la rotation d'un vecteur $\vec{v}$ | $ \vec{v'} = R\vec{v}\overline{R} $ |
-Dans les articles mathématiques les quaternions sont en général désignés par des lettres romaines minuscules $p,q,r,\ldots$ alors que les physiciens utilisent de préférence des majuscules $P,Q,R,\ldots$.
-Dans ce formulaire nous utiliserons généralement la notation des physiciens. Les lettres romaines minuscules pour les réels et les majuscules pour les quaternions.
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 ===== Preuves =====
-==== Expression de l'exponentielle ====
+==== Preuve. Expression de l'exponentielle ====
 Soit $Q = s + \vec{v}$ ou $s = \mathbb{S}(Q)$ et $\vec{v} = \mathbb{V}({Q})$.
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 \]
-==== Mise sous forme exponentielle ====
+$\square$
+==== Preuve. Mise sous forme exponentielle ====
 C'est en fait un corollaire du résultat précédent.
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 Par le résultat précédent
-$$se^{\vec{u}\theta} = s(e^{\mathbb{S}(\vec{u}}  ( \cos(\vec{u}\theta) + \frac{\vec{u}\theta}{|\vec{u}\theta|}\sin(\vec{u}\theta)   ) $$
+$$se^{\vec{u}\theta} = s e^{\mathbb{S}( \vec{u}\theta ) }  \left( \cos(|\vec{u}\theta|) + \frac{\vec{u}\theta}{|\vec{u}\theta|}\sin(|\vec{u}\theta|)   \right) $$
+Comme $\vec{u}\theta$ est purement vectoriel et $|\vec{u}| = 1$ on obtient
+$$se^{\vec{u}\theta} = s  \left( \cos(\theta) + \vec{u} \sin(\theta)   \right) $$
+Par égalité des parties scalaires et vectorielles on doit donc avoir
+$$\begin{array}{rcl}
+\mathbb{S}(Q) & = & s \cos(\theta) \\
+\mathbb{V}(Q) & = & s \vec{u} \sin(\theta)
+\end{array}$$
+d'où $$\theta = \arccos \left( \frac{\mathbb{S}(Q)}{s} \right) \text{ et } \vec{u} = \frac{\mathbb{V}(S)}{s\sin(\theta)} $$
+D'autre part, en utilisant $|P+Q|^2 = |P|^2 + |Q|^2 +2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ on trouve
+$$  | \cos(\theta) + \vec{u} \sin(\theta) | = 1   $$
+D'où, à partir de $Q = s  \left( \cos(\theta) + \vec{u} \sin(\theta)   \right) $, on obtient, en prenant la norme à gauche et à droite : $$s = |Q|$$.
+$\square$