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--- quaternions:definitions [2025/08/27 10:52] – [Identités remarquables et calculs] admin
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 Si un quaternion est noté par une lettre, disons $P$, ses composantes seront en général notées $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}$.
-**Remarque.** En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaterniques habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.
+===== Remarque cruciale =====
-D'autre part, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}ae_{i}$, voire $a_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein.
+En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaterniques habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.
+Mais surtout, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}q_i e_{i}$, voire $q_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein.
+L'expérience montre que cette manière de noter les unités simplifie considérablement les calculs, et réduit par conséquent les risques d'erreur.
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 | partie scalaire                     | $\mathbb{S}(Q) = -\frac{1}{4}\sum_{n=0}^3{e_n Q \overline{e_n}}$ \\ que l'on peut ensuite combiner avec la détermination des $q_n$ |
 | norme                               | $\left|Q\right|=\sqrt{q_{0}^{2}+|\vec{Q}|^{2}}$ |
+| :::                                 | $|e_i| = 1 \quad (i=0,3)$ |
 | :::                                 | $|P+Q]^{2}=|P|^{2}+|Q|^{2}+2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ |
+| :::                                 | $|PQ| = |P||Q|$ |
 | inversion ($Q$ non nul)             | $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$ |
 | inversion des unités                | $e_i^{-1} = \overline{e_i} \qquad i=0,...,3$ |
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 Les transformations vers et de la forme exponentielle se calculent ainsi:
-| $Q$ | $\to$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ <html><br></html>$\theta = acos(q_0/|Q|)$ <html><br></html> $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|sin\theta)$ |
+| $Q$ | $\to$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ \\ $\theta = acos(q_0/|Q|)$ \\ $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|sin\theta)$ |
-| $Q$ <html><br></html> $q_0 = |Q|cos\theta$ <html><br></html> $\vec{Q} = \vec{u}|Q|sin\theta$ | $\leftarrow$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ |
+| $Q$ \\ $q_0 = |Q|cos\theta$ \\ $\vec{Q} = \vec{u}|Q|sin\theta$ | $\leftarrow$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ |
 Si  $\vec{Q} = 0$  alors  $\vec{u}$ peut être choisi arbitrairement. Par exemple,  $Q= –1 = |1| e^{(2n+1)\pi \vec{u} }$ pour $n$ un entier quelconque et $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire quelconque.