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 ====== Quaternions ======
-Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que $e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
+Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que ${e_1}^{2}={e_2}^{2}={e_3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
 Un quaternion $Q$ peut s'écrire sous la forme $q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ où les $q_{i}$ sont des réels.
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 Si un quaternion est noté par une lettre, disons $P$, ses composantes seront en général notées $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}$.
-**Remarque.** En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaterniques habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.
+===== Remarque cruciale =====
-D'autre part, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}ae_{i}$, voire $a_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein.
+En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaterniques habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.
+Mais surtout, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}q_i e_{i}$, voire $q_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein.
+L'expérience montre que cette manière de noter les unités simplifie considérablement les calculs, et réduit par conséquent les risques d'erreur.
 ===== Propriétés des unités quaternioniennes =====
-| $e_1 e_2 = e_3$ |  |
+^ Transformation ^ Formule ^
-| $e_2 e_3 = e_1$ |  |
+| 1,2 $\to$ 3 | $e_1 e_2 = e_3$ |
-| $e_3 e_1 = e_2$ |  |
+| 2,3 $\to$ 1 | $e_2 e_3 = e_1$ |
-| $e_i e_j = -e_j e_i$ | pour $i,j \in \{1,2,3 \}$ et  $i \ne j$ |
+| 3,1 $\to$ 2 | $e_3 e_1 = e_2$ |
+| anti-symétrie | $e_i e_j = -e_j e_i$  $\quad i,j \in \{1,2,3 \}$ et  $i \ne j$ |
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 ===== Identités remarquables et calculs =====
+^ Opération ^ Formule ^
 | extraction de la partie scalaire    | $\mathbb{S}(Q)=\frac{1}{2}(Q+\overline{Q})$ |
 | extraction de la partie vectorielle | $\mathbb{V}(Q)=\frac{1}{2}(Q-\overline{Q})$ |
 | détermination d'un $q_n$            | $q_{n}=\mathbb{S}(Q\overline{e_{n}})$ |
-| multiplication                      | $PQ=\mathbb{S}(P)\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(P)\cdot\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(P)\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(Q)\mathbb{V}(P)+\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q)$ <html><br></html>//$\cdot$ : produit scalaire, $\wedge$: produit vectoriel de $\mathbb{R}^3$//|
+| multiplication                      | $PQ=\mathbb{S}(P)\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(P)\cdot\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(P)\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(Q)\mathbb{V}(P)+\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q)$ \\ //où $\cdot$ est le produit scalaire et $\wedge$ le produit vectoriel de $\mathbb{R}^3$//|
 | :::                                 | $PQ=p_{0}q_{0}-\vec{P}\cdot\vec{Q}+p_{0}\vec{Q}+q_{0}\vec{P}+\vec{P}\wedge\vec{Q}$ |
 | carré                               | $Q^{2}=2\mathbb{S}(Q)Q-\left|Q\right|^{2}$  |
 | si $Q=\vec{V}$ est purement vectoriel) | $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$  |
-| non commutativité                   | $PQ - QP = \mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q) - \mathbb{V}(Q)\wedge\mathbb{V}(P) = 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ |
+| non commutativité                   | $ QP = PQ - 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ |
+|                                     | $ QP = PQ - 2\mathbb{V}(P)\mathbb{V}(Q) - 2\mathbb{V}(P) \cdot \mathbb{V}(Q)$ |
 | conjugaisons                        | $\overline{(\overline{Q})}=Q$ |
 | :::                                   | $\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$ |
 | :::                                 | $\overline{PQ}=\overline{Q}\ \overline{P}$ |
 | conjugaison à l'aide des unités     | $\overline{Q}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{3}{e_{n}Qe_{n}}\text{}$ |
-| partie scalaire                     | $\mathbb{S}(Q) = -\frac{1}{4}\sum_{n=0}^3{e_n Q \overline{e_n}}$ <html><br></html>que l'on peut ensuite combiner avec la détermination des $q_n$ |
+| partie scalaire                     | $\mathbb{S}(Q) = -\frac{1}{4}\sum_{n=0}^3{e_n Q \overline{e_n}}$ \\ que l'on peut ensuite combiner avec la détermination des $q_n$ |
 | norme                               | $\left|Q\right|=\sqrt{q_{0}^{2}+|\vec{Q}|^{2}}$ |
+| :::                                 | $|e_i| = 1 \quad (i=0,3)$ |
 | :::                                 | $|P+Q]^{2}=|P|^{2}+|Q|^{2}+2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ |
+| :::                                 | $|PQ| = |P||Q|$ |
 | inversion ($Q$ non nul)             | $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$ |
 | inversion des unités                | $e_i^{-1} = \overline{e_i} \qquad i=0,...,3$ |
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 | :::                                 | $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
 | :::                                 | $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $ |
-| <html><a name="exp"></html>exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(|\mathbb{V}(Q)|)+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(|\mathbb{V}(Q)|)\right) $ |
+| exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(|\mathbb{V}(Q)|)+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(|\mathbb{V}(Q)|)\right) $ |
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 Les transformations vers et de la forme exponentielle se calculent ainsi:
-| $Q$ | $\to$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ <html><br></html>$\theta = acos(q_0/|Q|)$ <html><br></html> $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|sin\theta)$ |
+| $Q$ | $\to$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ \\ $\theta = acos(q_0/|Q|)$ \\ $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|sin\theta)$ |
-| $Q$ <html><br></html> $q_0 = |Q|cos\theta$ <html><br></html> $\vec{Q} = \vec{u}|Q|sin\theta$ | $\leftarrow$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ |
+| $Q$ \\ $q_0 = |Q|cos\theta$ \\ $\vec{Q} = \vec{u}|Q|sin\theta$ | $\leftarrow$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ |
 Si  $\vec{Q} = 0$  alors  $\vec{u}$ peut être choisi arbitrairement. Par exemple,  $Q= –1 = |1| e^{(2n+1)\pi \vec{u} }$ pour $n$ un entier quelconque et $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire quelconque.