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 ====== Quaternions ======
-Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif  $\mathbb{H}$  qui est l'extension des réels engendrée par les unités  $e_{1},e_{2},e_{3}$  telles que $e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
+Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif  $\mathbb{H}$  qui est l'extension des réels engendrée par les unités  $e_{1},e_{2},e_{3}$  telles que ${e_1}^{2}={e_2}^{2}={e_3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
 Un quaternion  $Q$  peut s'écrire sous la forme  $q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$  où les  $q_{i}$  sont des réels.
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 | carré                               |  $Q^{2}=2\mathbb{S}(Q)Q-\left|Q\right|^{2}$   |
 | si  $Q=\vec{V}$  est purement vectoriel) |  $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$   |
-| non commutativité                   | $PQ - QP = \mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q) - \mathbb{V}(Q)\wedge\mathbb{V}(P) = 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ |
+| non commutativité                   | $ QP = PQ - 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ |
+|                                     | $ QP = PQ - 2\mathbb{V}(P)\mathbb{V}(Q) - 2\mathbb{V}(P) \cdot \mathbb{V}(Q)$ |
 | conjugaisons                        |  $\overline{(\overline{Q})}=Q$  |
 | :::                                   |  $\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$  |
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 | :::                                 |  $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$  |
 | :::                                 |  $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1}$  |
-| exponentiation                      |  $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(|\mathbb{V}(Q)|)+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(|\mathbb{V}(Q)|)\right)$  |
+| <html><a name="exp"></html>exponentiation                      |  $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(|\mathbb{V}(Q)|)+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(|\mathbb{V}(Q)|)\right)$  |
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 ==== Forme exponentielle ====
-Pour tout quaternion  $Q$  on a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1)  $\vec{u}$  et  $0\le\theta<2\pi$  tels que
+À tout quaternion $Q = q_0 + \vec{Q} $avec$ \vec{Q} \ne  0$  on peut associer a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) et colinéaire à  $\vec{Q}$ , noté  $\vec{u}$ , et   $0\le\theta<2\pi$  tel que
  $Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$
-et
-  *  $\mathbb{S}(Q)=|Q|\cos(\theta)$
+Les transformations vers et de la forme exponentielle se calculent ainsi:
-  *  $\mathbb{V}(Q)=\vec{u}|\mathbb{V}(Q)|=\vec{u}|Q|\sin(\theta)|$
+|  $Q$  |  $\to$  |  $|Q|e^{\vec{u}\theta}$  <html><br></html> $\theta = acos(q_0/|Q|)$  <html><br></html>  $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|sin\theta)$  |
+|  $Q$  <html><br></html>  $q_0 = |Q|cos\theta$  <html><br></html>  $\vec{Q} = \vec{u}|Q|sin\theta$  |  $\leftarrow$  |  $|Q|e^{\vec{u}\theta}$  |
+Si   $\vec{Q} = 0$   alors   $\vec{u}$  peut être choisi arbitrairement. Par exemple,   $Q= –1 = |1| e^{(2n+1)\pi \vec{u} }$  pour  $n$  un entier quelconque et  $\vec{u}$  un quaternion vectoriel unitaire quelconque.