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--- quaternions:definitions [2020/08/04 11:16] – [Identités remarquables et calculs] admin
+++ quaternions:definitions [2025/10/02 15:13] (current) – admin
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 ====== Quaternions ======
-Un **quaternion** est un élément du corps gauche $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que $e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
+===== Structures algébriques =====
+==== Quaternions ====
+Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que ${e_1}^{2}={e_2}^{2}={e_3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
 Un quaternion $Q$ peut s'écrire sous la forme $q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ où les $q_{i}$ sont des réels.
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 Si un quaternion est noté par une lettre, disons $P$, ses composantes seront en général notées $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}$.
-===== Propriétés des unités quaternioniennes =====
+La **partie scalaire** d'un quaternion $Q = q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$, notée $\mathbb{S}(Q)$, est le nombre réel $q_0$.
-| $e_1 e_2 = e_3$ |  |
+La **partie vectorielle** d'un quaternion $Q = q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$, notée $\mathbb{V}(Q)$ ou $\vec{Q}$, est le quaternion  $q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$.
-| $e_2 e_3 = e_1$ |  |
-| $e_3 e_1 = e_2$ |  |
-| $e_i e_j = -e_j e_i$ | pour $i,j \in \{1,2,3 \}$ et  $i \ne j$ |
-**Remarque.** En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaterniques habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.
-D'autre part, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}ae_{i}$, voire $a_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein.
+==== Biquaternions ====
+==== Pseudo-quaternions ====
+==== $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ ====
+==== Algèbres de Clifford ====
+(toutes les matrices des choses d'au-dessus)
+===== Remarque cruciale =====
+En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaterniques habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.
+Mais surtout, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}q_i e_{i}$, voire $q_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein.
+L'expérience montre que cette manière de noter les unités simplifie considérablement les calculs, et réduit par conséquent les risques d'erreur.
+===== Propriétés des unités quaternioniennes =====
+^ Transformation ^ Formule ^
+| 1,2 $\to$ 3 | $e_1 e_2 = e_3$ |
+| 2,3 $\to$ 1 | $e_2 e_3 = e_1$ |
+| 3,1 $\to$ 2 | $e_3 e_1 = e_2$ |
+| anti-symétrie | $e_i e_j = -e_j e_i$  $\quad i,j \in \{1,2,3 \}$ et  $i \ne j$ |
 ===== Opérations et fonctions de base =====
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 ^ Opération ^ Notation ^ Définition ^
-| partie scalaire        | $\mathbb{S}(Q)$              | $q_{0}$ |
-| partie vectorielle     | $\mathbb{V}(Q)$ ou $\vec{Q}$ | $q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ |
 | conjugué quaternionien | $\overline{Q}$               | $\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(Q) = q_0 -q_1 e_1 - q_2 e_2 - q_3 e_3$ |
 | addition               | $P+Q$                        | $\sum(p_{i}+q_{i})e_{i}$ |
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+===== Convention de notation =====
+Étant donné le nombre limité de lettres romaines et grecques majuscules et minuscules il est impossible de prendre une convention qui permette de distinguer en toutes circonstances les entiers, les réels, les complexes, les quaternions, les biquaternions, les variables, les constantes, etc. Ce d'autant plus que les habitudes des mathématiciens et des physiciens divergent.
-===== Identités remarquables et calculs =====
+Dans les articles mathématiques les quaternions sont en général désignés par des lettres romaines minuscules $p,q,r,\ldots$ alors que les physiciens utilisent de préférence des majuscules $P,Q,R,\ldots$.
+Dans ce formulaire nous utiliserons généralement la notation des physiciens. Les lettres romaines minuscules pour les réels et les majuscules pour les quaternions.
+Sauf indication contraire nous emploierons le vocabulaire suivant
+^ Notation ^ Désigne ^
+| $P, Q, R, ...$ | des quaternions |
+| $\mathcal{R}, \mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2, ... $ | des quaternions utilisés dans des rotations |
+| $\mathcal{L}, \mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2, ... $ | des biquaternions utilisés dans la description des transformations de Lorentz |
+| $\vec{V}, \vec{W}, ... $ | des quaternions purement vectoriels (partie scalaire nulle) |
+| $U, U_1, U_2, ...$ | des quaternions unitaires (de norme 1) |
+| $\vec{u}, \vec{u}_1, \vec{u}_2, ...$ | des quaternions unitaires purement vectoriels |
+| $p_0, q_0, r_0, ...$ | les parties scalaires des quaternions $P, Q, R, ...$ |
+| $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, ...$ | les parties vectorielles des quaternions $P, Q, R, ...$ |
+===== Identités remarquables et calculs =====
+^ Opération ^ Formule ^
 | extraction de la partie scalaire    | $\mathbb{S}(Q)=\frac{1}{2}(Q+\overline{Q})$ |
 | extraction de la partie vectorielle | $\mathbb{V}(Q)=\frac{1}{2}(Q-\overline{Q})$ |
-| extraction d'un $q_i$               | $q_{i}=\mathbb{S}(Q\overline{e_{i}})$ |
+| détermination d'un $q_n$            | $q_{n}=\mathbb{S}(Q\overline{e_{n}})$ |
-| multiplication                      | $PQ=\mathbb{S}(P)\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(P)\cdot\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(P)\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(Q)\mathbb{V}(P)+\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q)$ <html><br></html>//$\cdot$ : produit scalaire, $\wedge$: produit vectoriel de $\mathbb{R}^3$//|
+| multiplication                      | $PQ=\mathbb{S}(P)\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(P)\cdot\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(P)\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(Q)\mathbb{V}(P)+\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q)$ \\ //où $\cdot$ est le produit scalaire et $\wedge$ le produit vectoriel de $\mathbb{R}^3$//|
 | :::                                 | $PQ=p_{0}q_{0}-\vec{P}\cdot\vec{Q}+p_{0}\vec{Q}+q_{0}\vec{P}+\vec{P}\wedge\vec{Q}$ |
 | carré                               | $Q^{2}=2\mathbb{S}(Q)Q-\left|Q\right|^{2}$  |
-| si $Q=\vec{v}$ est purement vectoriel) | $\vec{v}^{2}=-\left|\vec{v}\right|^{2}$  |
+| si $Q=\vec{V}$ est purement vectoriel) | $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$  |
-| non commutativité                   | $PQ - QP = \mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q) - \mathbb{V}(Q)\wedge\mathbb{V}(P) = 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ |
+| non commutativité                   | $ QP = PQ - 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ |
-| commutation des unités              | $e_i Q = - Q \overline{e_i} \qquad i=1, \ldots, 3$ |
+| :::                                 | $ QP = PQ - 2\mathbb{V}(P)\mathbb{V}(Q) - 2\mathbb{V}(P) \cdot \mathbb{V}(Q)$ |
+| :::                                 | $e_iQ = Q\overline{e_i} = -Qe_i \quad i=1,2,3$ |
 | conjugaisons                        | $\overline{(\overline{Q})}=Q$ |
 | :::                                   | $\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$ |
 | :::                                 | $\overline{PQ}=\overline{Q}\ \overline{P}$ |
-| conjugaison à partir des unités     | $\overline{Q}=-\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{3}{e_{i}Qe_{i}}\text{}$ |
+| conjugaison à l'aide des unités     | $\overline{Q}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{3}{e_{n}Qe_{n}}\text{}$ |
+| partie scalaire                     | $\mathbb{S}(Q) = -\frac{1}{4}\sum_{n=0}^3{e_n Q \overline{e_n}}$ \\ que l'on peut ensuite combiner avec la détermination des $q_n$ |
 | norme                               | $\left|Q\right|=\sqrt{q_{0}^{2}+|\vec{Q}|^{2}}$ |
+| :::                                 | $|e_i| = 1 \quad (i=0,3)$ |
 | :::                                 | $|P+Q]^{2}=|P|^{2}+|Q|^{2}+2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ |
+| :::                                 | $|PQ| = |P||Q|$ |
 | inversion ($Q$ non nul)             | $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$ |
 | inversion des unités                | $e_i^{-1} = \overline{e_i} \qquad i=0,...,3$ |
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 | :::                                 | $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
 | :::                                 | $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $ |
-| exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(\mathbb{V}(Q))+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(\mathbb{V}(Q))\right) $ |
+| exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(|\mathbb{V}(Q)|)+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(|\mathbb{V}(Q)|)\right) $ \\ [[#Preuve. Expression de l'exponentielle|$\to$ Preuve]] |
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 \end{array}\right)$$
-est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2,\mathbb{C}) $
+est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2,\mathbb{C}) $. Autrement dit, on peut représenter tout quaternion par une matrice $2 \times 2$ complexe de la forme ci-dessus. Les physiciens auraient tendance à préférer le forme
+$$Q \mapsto \left(\begin{array}{cc}
+q_{0}+iq_3 & q_1+iq_2\\
+-q_1+iq_2 & q_{0}-iq_3
+\end{array}\right)$$
-  * l'addition et la multiplication quaternioniques correspondent à l'addition et à la multiplication matricielles
+  * l'addition et la multiplication quaternioniennes correspondent à l'addition et à la multiplication matricielles
   * la conjugaison correspond à la transposition conjugaison des matrices $2 \times 2$ complexes
 ==== Forme exponentielle ====
-Pour tout quaternion $Q$ on a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) $\vec{u}$ et $0\le\theta<2\pi$ tels que
+À tout quaternion $Q = q_0 + \vec{Q}$ avec $\vec{Q} \ne  0$  on peut associer un quaternion purement vectoriel et unitaire $\vec{u}$ et colinéaire à $\vec{Q}$ et  un angle $0\le\theta<2\pi$ tels que
 $$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$
-et
-  * $\mathbb{S}(Q)=|Q|\cos(\theta) $
+Les transformations vers et de la forme exponentielle se calculent ainsi:
-  * $\mathbb{V}(Q)=\vec{u}|\mathbb{V}(Q)|=\vec{u}|Q|\sin(\theta)|$
+| mise sous forme exponentielle | $Q = |Q|e^{\vec{u}\theta}$ \\ avec $\theta = \arccos(q_0/|Q|)$, $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|\sin\theta)$ \\ [[#Preuve. Mise sous forme exponentielle|$\to$ Preuve]]| Si  $\vec{Q} = 0$  alors  $\vec{u}$ peut être choisi arbitrairement. \\ Par exemple,  $Q= –1 = e^{(2n+1)\pi \vec{u} }$ pour $n$ un entier quelconque et $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire quelconque.  |
+| mise sous forme de composantes | $\alpha e^{\vec{u}\theta} = \alpha (\cos\theta + \vec{u}\sin\theta$) |
+| mise sous forme scalaire $\times$ quaternion unitaire | $Q = |Q|(\cos\theta + \vec{u}\sin\theta)$ \\ avec $\theta = \arccos(q_0/|Q|)$, $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|\sin\theta)$ |
+| pour un quaternion unitaire | $Q = \cos\theta + \vec{u}\sin\theta = e^{\vec{u}\theta}$ |
+===== Rotations =====
+Un quaternion $R = \cos(\theta/2) + \vec{u}\sin(\theta/2)$ (de norme 1) représentant un "turn", c'est-à-dire un opérateur qui "fait tourner" vecteurs et spineurs.
+L'opérateur de rotation d'un trivecteur $\vec{v}$ de $\mathbb{R}^3$ d'un angle $\theta$ autour de l'axe $\vec{u}$  s'écrit avec deux turns :
+$$R \vec{v} \overline{R}.$$
+Pour cette raison le paramètre dans le turn s'écrit avec $\theta/2$ (et pour que l'angle de rotation du vecteur puisse être de 360°, la graduation de $\theta$ doit aller de 0° à 720°)
-===== Convention de notation =====
-Étant donné le nombre limité de lettres romaines et grecques majuscules et minuscules il est impossible de prendre une convention qui permette de distinguer en toutes circonstances les entiers, les réels, les complexes, les quaternions, les biquaternions, les variables, les constantes, etc. Ce d'autant plus que les habitudes des mathématiciens et des physiciens divergent.
+| quaternion utilisé pour une rotation d'angle $\theta$ autour de l'axe $\vec{u}$ \\ (dans le sens horaire si on regarde dans la direction de $\vec{u}$) | $R = \cos(\theta/2) + \vec{u}\sin(\theta/2)$ \\ avec $\vec{u}$ est un quaternion vectoriel unitaire |
+| calcul de la rotation d'un vecteur $\vec{v}$ | $ \vec{v'} = R\vec{v}\overline{R} $ |
+===== Décompositions 🏗️ =====
+| Scalaire * Q. Unitaire | $Q$ | $Q=s\hat{U}$ | $s=|Q|, \hat{U}=Q/|Q|$ |
+| Vecteur * Q. Unitaire | $Q$, $\vec{u}$ vecteur unitaire | $Q=\vec{V}e^{\theta\vec{u}}$  \\ [[#Preuve. Décomposition Vecteur * Unitaire |$\to$ Preuve]] | $\theta = -\arctan\left( q_0 / (\vec{q} \cdot \vec{u}) \right) $ \\ $\vec{V} = Q e^{-\theta \vec{u}}$|
+-----
+-----
+===== Preuves =====
+==== Preuve. Expression de l'exponentielle ====
+Soit $Q=q_0+\vec{q}$ où $q_0=\mathbb{S}(Q)$ et $\vec{q}=\mathbb{V}({Q})$.
+On veut prouver :
+\[
+\exp(Q)=\exp(q_{0})\left(\cos(|\vec{q}|)+\frac{\vec{q}}{|\vec{q}|}\sin(|\vec{q}|)\right).
+\]
+Note: Si $\vec{q}=\vec{0}$, alors $\exp(Q)=\exp(q_{0})$, ce qui
+est consistant avec la limite $|\vec{q}|\to0$.
+L'exponentielle est définie par
+\[
+\exp(Q)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{Q^{k}}{k!}.
+\]
+Le quaternion $\vec{q}$ étant purement vectoriel on a
+:
+\[
+\vec{q}^{2}=-|\vec{q}|^{2}.
+\]
+Comme $q_{0}$ est scalaire et $\vec{q}$ est vectoriel ils commutent
+$q_{0}\vec{q}=\vec{q}q_{0}$.
+Donc on peut factoriser l'exponentielle selon la formule habituelle
+\[
+\exp(Q)=\exp(q_{0}+\vec{q})=\exp(q_{0})\exp(\vec{q}).
+\]
+Nous devons donc calculer $\exp(\vec{q})$.
+Soit $\vec{u}=\frac{\vec{q}}{|\vec{q}|}$, de sorte que $\vec{u}$
+soit un vecteur unitaire et $\vec{q}=|\vec{q}|\vec{u}$. Alors, on
+a :
+\[
+\exp(\vec{q})=\exp(|\vec{q}|\vec{u}).
+\]
+Maintenant, notons que $\vec{u}$ est un quaternion pur unitaire,
+donc $\vec{u}^{2}=-1$.
+On utilise la définition de $\exp()$ :
+\[
+\exp(|\vec{q}|\vec{u})=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(|\vec{q}|\vec{u})^{k}}{k!}.
+\]
+On sépare les puissances paires et impaires dans la série:
+- Pour $k=2m$ pair :
+\[
+(|\vec{q}|\vec{u})^{2m}=(|\vec{q}|^{2m}(\vec{u}^{2})^{m}=(|\vec{q}|^{2m}(-1)^{m}=(-1)^{m}|\vec{q}|^{2m}.
+\]
+- Pour les puissances impaires $k=2m+1$:
+\[
+(|\vec{q}|\vec{u})^{2m+1}=|\vec{q}|^{2m+1}\vec{u}(\vec{u}^{2})^{m}=|\vec{q}|^{2m+1}\vec{u}(-1)^{m}.
+\]
+Par conséquent :
+\[
+\exp(|\vec{q}|\vec{u})=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}|\vec{q}|^{2m}}{(2m)!}+\vec{u}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}|\vec{q}|^{2m+1}}{(2m+1)!}.
+\]
+On reconnait la série de Taylor pour le cosinus et le sinus :
+\[
+\cos(|\vec{q}|)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}|\vec{q}|^{2m}}{(2m)!},\quad\sin(|\vec{q}|)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}|\vec{q}|^{2m+1}}{(2m+1)!}.
+\]
+Ainsi,
+\[
+\exp(\vec{q})=\exp(|\vec{q}|\vec{u})=\cos(|\vec{q}|)+\vec{u}\sin(|\vec{q}|)=\cos(|\vec{q}|)+\frac{\vec{q}}{|\vec{q}|}\sin(|\vec{q}|)
+\]
+Comme $\exp(Q)=\exp(q_{0})\exp(\vec{q})$, on a:
+\[
+\exp(Q)=\exp(q_{0})\left(\cos(|\vec{q}|)+\frac{\vec{q}}{|\vec{q}|}\sin(|\vec{q}|)\right).
+\]
+$\square$
+==== Preuve. Mise sous forme exponentielle ====
+C'est en fait un corollaire du résultat précédent.
+On cherche $s, \vec{u}, \theta$ tels que $Q = se^{\vec{u}\theta}$ avec $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire.
+Par le résultat précédent
+$$se^{\vec{u}\theta} = s e^{\mathbb{S}( \vec{u}\theta ) }  \left( \cos(|\vec{u}\theta|) + \frac{\vec{u}\theta}{|\vec{u}\theta|}\sin(|\vec{u}\theta|)   \right) $$
+Comme $\vec{u}\theta$ est purement vectoriel et $|\vec{u}| = 1$ on obtient
+$$se^{\vec{u}\theta} = s  \left( \cos(\theta) + \vec{u} \sin(\theta)   \right) $$
+Par égalité des parties scalaires et vectorielles on doit donc avoir
+$$\begin{array}{rcl}
+\mathbb{S}(Q) & = & s \cos(\theta) \\
+\mathbb{V}(Q) & = & s \vec{u} \sin(\theta)
+\end{array}$$
+d'où $$\theta = \arccos \left( \frac{\mathbb{S}(Q)}{s} \right) \text{ et } \vec{u} = \frac{\mathbb{V}(S)}{s\sin(\theta)} $$
+D'autre part, en utilisant $|P+Q|^2 = |P|^2 + |Q|^2 +2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ on trouve
+$$  | \cos(\theta) + \vec{u} \sin(\theta) | = 1   $$
+D'où, à partir de $Q = s  \left( \cos(\theta) + \vec{u} \sin(\theta)   \right) $, on obtient, en prenant la norme à gauche et à droite : $$s = |Q|$$.
+$\square$
+==== Preuve. Décomposition Vecteur * Unitaire ====
+Étant donnés un quaternion $Q$ et quaternion vectoriel unitaire $\vec{u}$, on doit trouver $\vec{V}$ et $\theta$ tels que
+$$Q = \vec{V}e^{\theta \vec{u}}$$
+En multipliant à droite par $e^{-\theta \vec{u}}$ on obient
+$$\vec{V}=Q e^{-\theta \vec{u}}$$
+La partie scalaire de $\vec{V}$ doit être nulle donc
+$$\mathbb{S}\left( Q e^{-\theta \vec{u}} \right) =\mathbb{S}\left( \left( \sum{q_i e_i} \right)(\cos(-\theta)+\vec{u}\sin(-\theta)) \right) = 0$$
+donc
+$$q_0\cos(-\theta) - (q_1 u_1 + q_2 u_2 + q_3 u_3)\sin(-\theta) = 0$$
+d’où (en divisant par $\cos(-\theta)$
+$$q_0= (q_1 u_1 + q_2 u_2 + q_3 u_3)\tan(-\theta)$$
+et enfin
+$$\theta = -\arctan\left( \frac{q_0}{q_1 u_1 + q_2 u_2 + q_3 u_3} \right) = -\arctan\left( \frac{q_0}{\vec{q}\cdot\vec{u}} \right)$$
-Dans les articles mathématiques les quaternions sont en général désignés par des lettres romaines minuscules $p,q,r,\ldots$ alors que les physiciens utilisent de préférence des majuscules $P,Q,R,\ldots$.
-Dans ce formulaire nous utiliserons généralement la notation des physiciens. Les lettres romaines minuscules pour les réels et les majuscules pour les quaternions.