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--- quaternions:definitions [2020/08/05 23:06] – [Matrices] admin
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 | :::                                 | $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
 | :::                                 | $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $ |
-| exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(\mathbb{V}(Q))+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(\mathbb{V}(Q))\right) $ |
+| <html><a name="exp"></html>exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(|\mathbb{V}(Q)|)+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(|\mathbb{V}(Q)|)\right) $ |
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 ==== Forme exponentielle ====
-Pour tout quaternion $Q$ on a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) $\vec{u}$ et $0\le\theta<2\pi$ tels que
+À tout quaternion $Q = q_0 + \vec{Q}$ avec $\vec{Q} \ne  0$  on peut associer a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) et colinéaire à $\vec{Q}$, noté $\vec{u}$, et  $0\le\theta<2\pi$ tel que
 $$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$
-et
-  * $\mathbb{S}(Q)=|Q|\cos(\theta) $
+Les transformations vers et de la forme exponentielle se calculent ainsi:
-  * $\mathbb{V}(Q)=\vec{u}|\mathbb{V}(Q)|=\vec{u}|Q|\sin(\theta)|$
+| $Q$ | $\to$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ <html><br></html>$\theta = acos(q_0/|Q|)$ <html><br></html> $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|sin\theta)$ |
+| $Q$ <html><br></html> $q_0 = |Q|cos\theta$ <html><br></html> $\vec{Q} = \vec{u}|Q|sin\theta$ | $\leftarrow$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ |
+Si  $\vec{Q} = 0$  alors  $\vec{u}$ peut être choisi arbitrairement. Par exemple,  $Q= –1 = |1| e^{(2n+1)\pi \vec{u} }$ pour $n$ un entier quelconque et $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire quelconque.