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--- quaternions:definitions [2020/08/05 22:58] – [Identités remarquables et calculs] admin
+++ quaternions:definitions [2020/08/07 22:44] – [Identités remarquables et calculs] admin
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 ====== Quaternions ======
-Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que $e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
+Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que ${e_1}^{2}={e_2}^{2}={e_3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
 Un quaternion $Q$ peut s'écrire sous la forme $q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ où les $q_{i}$ sont des réels.
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 | carré                               | $Q^{2}=2\mathbb{S}(Q)Q-\left|Q\right|^{2}$  |
 | si $Q=\vec{V}$ est purement vectoriel) | $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$  |
-| non commutativité                   | $PQ - QP = \mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q) - \mathbb{V}(Q)\wedge\mathbb{V}(P) = 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ |
+| non commutativité                   | $ QP = PQ - 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ |
+|                                     | $ QP = PQ - 2\mathbb{V}(P)\mathbb{V}(Q) - 2\mathbb{V}(P) \cdot \mathbb{V}(Q)$ |
 | conjugaisons                        | $\overline{(\overline{Q})}=Q$ |
 | :::                                   | $\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$ |
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 | :::                                 | $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
 | :::                                 | $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $ |
-| exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(\mathbb{V}(Q))+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(\mathbb{V}(Q))\right) $ |
+| <html><a name="exp"></html>exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(|\mathbb{V}(Q)|)+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(|\mathbb{V}(Q)|)\right) $ |
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 \end{array}\right)$$
-est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2,\mathbb{C}) $
+est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2,\mathbb{C}) $. Autrement dit, on peut représenter tout quaternion par une matrice $2 \times 2$ complexe de la forme ci-dessus. Les physiciens auraient tendance à préférer le forme
+$$Q \mapsto \left(\begin{array}{cc}
+q_{0}+iq_3 & q_1+iq_2\\
+-q_1+iq_2 & q_{0}-iq_3
+\end{array}\right)$$
-  * l'addition et la multiplication quaternioniques correspondent à l'addition et à la multiplication matricielles
+  * l'addition et la multiplication quaternioniennes correspondent à l'addition et à la multiplication matricielles
   * la conjugaison correspond à la transposition conjugaison des matrices $2 \times 2$ complexes
 ==== Forme exponentielle ====
-Pour tout quaternion $Q$ on a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) $\vec{u}$ et $0\le\theta<2\pi$ tels que
+À tout quaternion $Q = q_0 + \vec{Q}$ avec $\vec{Q} \ne  0$  on peut associer a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) et colinéaire à $\vec{Q}$, noté $\vec{u}$, et  $0\le\theta<2\pi$ tel que
 $$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$
-et
-  * $\mathbb{S}(Q)=|Q|\cos(\theta) $
+Les transformations vers et de la forme exponentielle se calculent ainsi:
-  * $\mathbb{V}(Q)=\vec{u}|\mathbb{V}(Q)|=\vec{u}|Q|\sin(\theta)|$
+| $Q$ | $\to$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ <html><br></html>$\theta = acos(q_0/|Q|)$ <html><br></html> $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|sin\theta)$ |
+| $Q$ <html><br></html> $q_0 = |Q|cos\theta$ <html><br></html> $\vec{Q} = \vec{u}|Q|sin\theta$ | $\leftarrow$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ |
+Si  $\vec{Q} = 0$  alors  $\vec{u}$ peut être choisi arbitrairement. Par exemple,  $Q= –1 = |1| e^{(2n+1)\pi \vec{u} }$ pour $n$ un entier quelconque et $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire quelconque.