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--- quaternions:definitions [2020/08/02 15:16] – [Identités remarquables et calculs] admin
+++ quaternions:definitions [2020/08/05 22:47] – [Quaternions] admin
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 ====== Quaternions ======
-Un **quaternion** est un élément du corps gauche $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que $e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
+Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que $e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
 Un quaternion $Q$ peut s'écrire sous la forme $q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ où les $q_{i}$ sont des réels.
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 | $e_i e_j = -e_j e_i$ | pour $i,j \in \{1,2,3 \}$ et  $i \ne j$ |
-**Remarque.** En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaternionniennes habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.
+**Remarque.** En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaterniques habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.
 D'autre part, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}ae_{i}$, voire $a_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein.
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 | partie scalaire        | $\mathbb{S}(Q)$              | $q_{0}$ |
 | partie vectorielle     | $\mathbb{V}(Q)$ ou $\vec{Q}$ | $q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ |
-| conjugué quaternionien | $\overline{Q}$               | $\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(Q)$ |
+| conjugué quaternionien | $\overline{Q}$               | $\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(Q) = q_0 -q_1 e_1 - q_2 e_2 - q_3 e_3$ |
 | addition               | $P+Q$                        | $\sum(p_{i}+q_{i})e_{i}$ |
 | multiplication         | $PQ$                         | $\sum_{i,j}(p_{i}q_{j})e_{i}e_{j}$ |
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 | extraction de la partie scalaire    | $\mathbb{S}(Q)=\frac{1}{2}(Q+\overline{Q})$ |
 | extraction de la partie vectorielle | $\mathbb{V}(Q)=\frac{1}{2}(Q-\overline{Q})$ |
+| extraction d'un $q_i$               | $q_{i}=\mathbb{S}(Q\overline{e_{i}})$ |
 | multiplication                      | $PQ=\mathbb{S}(P)\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(P)\cdot\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(P)\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(Q)\mathbb{V}(P)+\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q)$ <html><br></html>//$\cdot$ : produit scalaire, $\wedge$: produit vectoriel de $\mathbb{R}^3$//|
 | :::                                 | $PQ=p_{0}q_{0}-\vec{P}\cdot\vec{Q}+p_{0}\vec{Q}+q_{0}\vec{P}+\vec{P}\wedge\vec{Q}$ |
 | carré                               | $Q^{2}=2\mathbb{S}(Q)Q-\left|Q\right|^{2}$  |
-| si $Q=\vec{V}$ est purement vectoriel) | $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$  |
+| si $Q=\vec{v}$ est purement vectoriel) | $\vec{v}^{2}=-\left|\vec{v}\right|^{2}$  |
+| non commutativité                   | $PQ - QP = \mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q) - \mathbb{V}(Q)\wedge\mathbb{V}(P) = 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ |
 | conjugaisons                        | $\overline{(\overline{Q})}=Q$ |
 | :::                                   | $\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$ |
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 | norme                               | $\left|Q\right|=\sqrt{q_{0}^{2}+|\vec{Q}|^{2}}$ |
 | :::                                 | $|P+Q]^{2}=|P|^{2}+|Q|^{2}+2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ |
-| inversion ($Q$ non nul)             | $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{Q\overline{Q}}$ |
+| inversion ($Q$ non nul)             | $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$ |
-| :::                                 | $=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$ |
+| inversion des unités                | $e_i^{-1} = \overline{e_i} \qquad i=0,...,3$ |
-| inversion et conjugaison            | $Q^{-1}==\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_0^{2}+q_1^{2}+q_2^{2}+q_3^{2}}\ \overline{Q}$ |
+| inversion et conjugaison            | $\overline{Q^{-1}}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
-| :::                                 | $\overline{Q^{-1}}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
 | :::                                 | $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
 | :::                                 | $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $ |
 | exponentiation                      | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(\mathbb{V}(Q))+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(\mathbb{V}(Q))\right) $ |
-====== Biquaternions ======
-Un **biquaternion** est un élément de l'anneau $\mathbb{B}$ qui est l'extension des complexes engendrée par les quaternioniennes $e_1, e_2, e_3$.
-Un biquaternion $Z$ peut s'écrire sous la forme $z_{0}+z_{1}e_{1}+z_{2}e_{2}+z_{3}e_{3}$ où les $z_{i}$ sont des nombres complexes. Si on regroupe les parties réelles et imaginaires des $z_{i}$, un biquaternion peut s'écrire sous la forme $A+Bi$ où $A$ et $B$ sont des quaternions.
+===== Autres Représentations =====
-Les opérations $\mathbb{S}$, $\mathbb{V}$, conjugaison, addition, multiplication sont définies de la même manière que pour les quaternions, en remplaçant les opérations sur les réels par leur correspondant sur les complexes.
+==== Matrices ====
-On définit deux types de conjugaisons supplémentaires:
+La fonction $$Q \mapsto \left(\begin{array}{cc}
+q_{0}+iq_{1} & q_{2}+iq_{3}\\
+-q_{2}+iq_{3} & q_{0}-iq_{1}
+\end{array}\right)$$
+est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2,\mathbb{C}) $
+  * l'addition et la multiplication quaternioniques correspondent à l'addition et à la multiplication matricielles
+  * la conjugaison correspond à la transposition conjugaison des matrices $2 \times 2$ complexes
+==== Forme exponentielle ====
+Pour tout quaternion $Q$ on a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) $\vec{u}$ et $0\le\theta<2\pi$ tels que
+$$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$
+et
+  * $\mathbb{S}(Q)=|Q|\cos(\theta) $
+  * $\mathbb{V}(Q)=\vec{u}|\mathbb{V}(Q)|=\vec{u}|Q|\sin(\theta)|$
-| conjugué imaginaire | $Z^{*}$ | $\sum z_{i}^{*}e_{i}$ |
-| conjugué hermitien  | $Z^{+}$     | $\overline{Z^{*}}.$ |
-où $z_{i}^{*}$ désigne la conjugaison complexe.