quaternions:fonctions-lineaires
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====== Fonctions linéaires ====== | ====== Fonctions linéaires ====== | ||
Un fonction linéaire quaternionnique est une fonction $f$ sur $\mathbb{H}$ qui satisfait | Un fonction linéaire quaternionnique est une fonction $f$ sur $\mathbb{H}$ qui satisfait | ||
- | 1. $f(P+Q)=f(P)+f(Q)$ | + | - $f(P+Q)=f(P)+f(Q)$ |
- | 2. $f(aQ)=af(Q)\: | + | |
Il est clair que toute fonction de la forme $f(Q)=\sum_{p=1}^{n}A_{p}QB_{p}$ est linéaire. | Il est clair que toute fonction de la forme $f(Q)=\sum_{p=1}^{n}A_{p}QB_{p}$ est linéaire. | ||
Line 13: | Line 15: | ||
* $f(Q)=\sum_{i=0}^{3}\mathbb{S}(C_{i}Q)e_{i}$ | * $f(Q)=\sum_{i=0}^{3}\mathbb{S}(C_{i}Q)e_{i}$ | ||
* $f(Q)=\sum_{i=0}^{3}\mathbb{S}(e_{i}Q)D_{i}$ | * $f(Q)=\sum_{i=0}^{3}\mathbb{S}(e_{i}Q)D_{i}$ | ||
- | |||
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Il y a un isomorphisme entre les fonctions linéaires de la forme $L_{A}(.)=\sum_{n=0}^{3}A_{n}(.)\overline{e_{n}}$ munies de l' | Il y a un isomorphisme entre les fonctions linéaires de la forme $L_{A}(.)=\sum_{n=0}^{3}A_{n}(.)\overline{e_{n}}$ munies de l' | ||
Line 20: | Line 20: | ||
-A_{1}+iA_{2} & A_{0}-iA_{3} | -A_{1}+iA_{2} & A_{0}-iA_{3} | ||
\end{pmatrix}$$ | \end{pmatrix}$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Preuves ===== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Si $Q=q_{0}e_{0}+\ldots+q_{3}e_{3}$, | ||
+ | |||
+ | De plus on a | ||
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+ | 1. $q_{0}=\mathbb{S}(Q)=\frac{1}{2}(Q+\overline{Q})=\frac{1}{2}\left(Q+-\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{3}e_{j}Qe_{j}\right)$ (par [eq: | ||
+ | |||
+ | 2. $q_{i}=\mathbb{S}(Q\overline{e_{i}})=\frac{1}{2}(-Qe_{i}-\overline{e_{i}}\overline{Q})=\frac{1}{2}(-Qe_{i}+e_{i}\overline{Q})\; | ||
+ | |||
+ | Donc tous les $q_{k}f(e_{k})$ de $f(Q)$ sont des sommes de termes de la forme $ae_{i}QF$ où $a\in\mathbb{R}$, | ||
+ | |||
+ |
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