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quaternions:equations-degre-1

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quaternions:equations-degre-1 [2020/08/04 14:27] – [Résolution] adminquaternions:equations-degre-1 [2023/11/01 14:44] (current) – external edit 127.0.0.1
Line 1: Line 1:
 +[[:quaternions|Formulaire]]
 +
 ====== Équations quaternioniques du premier degré  ====== ====== Équations quaternioniques du premier degré  ======
 +
 +
  
 ===== Équations de la forme $AX + QX + C = 0$ ===== ===== Équations de la forme $AX + QX + C = 0$ =====
  
 où $A,B,C,X \in \mathbb{H}$ où $A,B,C,X \in \mathbb{H}$
 +
 +
  
 ==== Réduction à un seul terme en $X$ ==== ==== Réduction à un seul terme en $X$ ====
  
    
-^ Équation ^ Équivalente à ^ +^ ID ^ Équation ^ Équivalente à ^ 
-|$AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ | +| red-1 |$AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ | 
-| :::        | $(eA - f)X = E $ |+| red-2 |$AX+XB+C=0$ | $(eA - f)X = E $ |
  
 où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, $f = |A|^{2}-|B|^{2}$, $D =-\overline{A}C-CB$ , $E =-AC-C\overline{B}$ | où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, $f = |A|^{2}-|B|^{2}$, $D =-\overline{A}C-CB$ , $E =-AC-C\overline{B}$ |
Line 19: Line 25:
 |$AX+XB+C=0$ | $$X = \frac{D(\overline{eB+f})}{|eB+f|^2} = \frac{De\overline{B}+Df}{|eB+f|^2}$$ <html><br></html> ou de manière équivalente <html><br></html> $$X = \frac{(\overline{eA-f})E}{|eA-f|^2} = \frac{e\overline{A}E-fE}{|eA-f|^2}$$ | |$AX+XB+C=0$ | $$X = \frac{D(\overline{eB+f})}{|eB+f|^2} = \frac{De\overline{B}+Df}{|eB+f|^2}$$ <html><br></html> ou de manière équivalente <html><br></html> $$X = \frac{(\overline{eA-f})E}{|eA-f|^2} = \frac{e\overline{A}E-fE}{|eA-f|^2}$$ |
  
-===== Équations sans solutions =====+==== Équations dégénérées ====
  
-Exemple. $$e_{1}q+qe_{2}+e_{3}=0$$+Lorsque $eB-f = 0$
  
-n'a pas de solution. Pour le voir, on multiplie à gauche par $e_{1}$, à droite par $e_{2}$, en additionnant on trouve +Exemples: 
-$$ 0=e_{1}+e_{2}$$+ 
 +| $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ | n'a pas de solution. multiplier à gauche par $e_{1}$, puis à droite par $e_{2}$, additionner $ \to 0=e_{1}+e_{2}$ | 
 +| $e_1 X + X e_1 = 0$ | a une infinité de solutions de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ |
  
  
 ===== Preuves ===== ===== Preuves =====
 +
 +==== red-1 ====
  
 À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{A}$ à gauche on obtient À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{A}$ à gauche on obtient
Line 35: Line 45:
 Par addition on obtient Par addition on obtient
 $$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ $$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$
-d'où +$$\to X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ 
-$$X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ +$$\to X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ 
-d'où +$$\to X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$
-$$X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ +
-et donc +
-$$X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$+
 qu'on écrit qu'on écrit
 $$X(eB+f)=D$$ $$X(eB+f)=D$$
  
 +==== red-2 ====
  
 À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{B}$ à droite on obtient À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{B}$ à droite on obtient
Line 55: Line 63:
 $$ \to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$ $$ \to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$
  
-$$ \to (eA - f)X = D'$$+$$ \to (eA - f)X = E$$
quaternions/equations-degre-1.1596544040.txt.gz · Last modified: 2023/11/01 14:43 (external edit)