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Équations quaternioniques du premier degré
Une équations quaternioniques du premier degré est une équation de la forme
$$AX + QX + C = 0$$
où $A,B,C,X \in \mathbb{H}$
Réduction à un seul terme en $X$
| Équation | Équivalente à |
|---|---|
| $AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ |
| $(eA - f)X = E $ |
où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, $f = |A|^{2}-|B|^{2}$, $D =-\overline{A}C-CB$ , $E =-AC-C\overline{B}$ |
Résolution
| Équation | Solution |
|---|---|
| $AX+XB+C=0$ | $$X = \frac{D(\overline{eB+f})}{|eB+f|^2} = \frac{De\overline{B}+Df}{|eB+f|^2}$$ <html><br></html> ou de manière équivalente <html><br></html> $$X = \frac{(\overline{eA-f})E}{|eA-f|^2} = \frac{e\overline{A}E-fE}{|eA-f|^2}$$ |
Équations sans solutions
Exemple. $$e_{1}q+qe_{2}+e_{3}=0$$
n'a pas de solution. Pour le voir, on multiplie à gauche par $e_{1}$, à droite par $e_{2}$, en additionnant on trouve $$ 0=e_{1}+e_{2}$$
Preuves
À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{A}$ à gauche on obtient $$|A|^{2}X+\overline{A}XB+\overline{A}C=0.$$ Si on multiplie à droite par $B$ on obtient $$AXB+XB^{2}+CB=0.$$ Par addition on obtient $$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ d'où $$X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ d'où $$X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ et donc $$X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ qu'on écrit $$X(eB+f)=D$$
À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{B}$ à droite on obtient $$AX\overline{B}+X|B|^2+C\overline{B}=0.$$ Si on multiplie à gauche par $A$ on obtient $$A^2X+AXB+AC=0.$$ Par addition on obtient $$2\mathbb{S}(B)AX+(A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$ $$ \to (2\mathbb{S}(B)A+A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$ $$ \to (2\mathbb{S}(B)A+2\mathbb{S}(A)A-|A|^2 + |B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$ $$ \to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$
$$ \to (eA - f)X = D'$$