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--- quaternions:equations-degre-1 [2020/08/03 23:26] – [Transformations] admin
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+[[:quaternions|Formulaire]]
 ====== Équations quaternioniques du premier degré  ======
-Une équations quaternioniques du premier degré est une équation de la forme
-$$AX + QX + C = 0$$
+===== Équations de la forme $AX + QX + C = 0$ =====
 où $A,B,C,X \in \mathbb{H}$
-===== Transformations =====
+==== Réduction à un seul terme en $X$ ====
-^ Équation ^ Équivalente à ^
+^ ID ^ Équation ^ Équivalente à ^
-|$AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ <html><br></html> où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, $f = |A|^{2}-|B|^{2}$, $D =-\overline{A}C-CB$ |
+| red-1 |$AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ |
-|$AX+XB+C=0$ | $(eA - f)X = E $ <html><br></html> où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, $f = |A|^{2}-|B|^{2})$, $E =-AC-C\overline{B}$ |
+| red-2 |$AX+XB+C=0$ | $(eA - f)X = E $ |
+où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, $f = |A|^{2}-|B|^{2}$, $D =-\overline{A}C-CB$ , $E =-AC-C\overline{B}$ |
+==== Résolution ====
+^ Équation ^ Solution ^
+|$AX+XB+C=0$ | $$X = \frac{D(\overline{eB+f})}{|eB+f|^2} = \frac{De\overline{B}+Df}{|eB+f|^2}$$ <html><br></html> ou de manière équivalente <html><br></html> $$X = \frac{(\overline{eA-f})E}{|eA-f|^2} = \frac{e\overline{A}E-fE}{|eA-f|^2}$$ |
+==== Équations dégénérées ====
+Lorsque $eB-f = 0$
+Exemples:
+| $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ | n'a pas de solution. multiplier à gauche par $e_{1}$, puis à droite par $e_{2}$, additionner $ \to 0=e_{1}+e_{2}$ |
+| $e_1 X + X e_1 = 0$ | a une infinité de solutions de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ |
 ===== Preuves =====
+==== red-1 ====
 À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{A}$ à gauche on obtient
@@ Line 22: / Line 45: @@
 Par addition on obtient
 $$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$
-d'où
+$$\to X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
-$$X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
+$$\to X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
-d'où
+$$\to X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$
-$$X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
-et donc
-$$X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$
 qu'on écrit
 $$X(eB+f)=D$$
+==== red-2 ====
 À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{B}$ à droite on obtient
@@ Line 42: / Line 63: @@
 $$ \to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$
-$$ \to (eA - f)X = D'$$
+$$ \to (eA - f)X = E$$