quaternions:equations-degre-1
Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
Both sides previous revisionPrevious revisionNext revision | Previous revision | ||
quaternions:equations-degre-1 [2020/08/03 23:18] – [Preuves] admin | quaternions:equations-degre-1 [2023/11/01 14:44] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
---|---|---|---|
Line 1: | Line 1: | ||
+ | [[: | ||
+ | |||
====== Équations quaternioniques du premier degré | ====== Équations quaternioniques du premier degré | ||
- | Une équations quaternioniques du premier degré est une équation de la forme | ||
- | $$AX + QX + C = 0$$ | + | |
+ | ===== Équations de la forme $AX + QX + C = 0$ ===== | ||
où $A,B,C,X \in \mathbb{H}$ | où $A,B,C,X \in \mathbb{H}$ | ||
- | ===== Transformations ===== | ||
- | $$ | + | |
- | \begin{array}{rcl} | + | ==== Réduction à un seul terme en $X$ ==== |
- | AX+XB+C=0 & \leftrightarrow & X(2\mathbb{S}(A+B)B+\left|A\right|^{2}-\left|B\right|^{2})=-\bar{A}C-CB \\ | + | |
- | & \leftrightarrow & (2\mathbb{S}(A+B)A+\left|B\right|^{2}-\left|A\right|^{2})X=-AC-C\bar{B}\\ | + | |
- | + | ||
- | \end{array} | + | |
- | $$ | + | |
- | ^ Équation ^ Équivalente à ^ | + | ^ ID ^ Équation ^ Équivalente à ^ |
- | |$AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ < | + | | red-1 |$AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ | |
- | |$AX+XB+C=0$ | $(eA - f)X = E $ < | + | | red-2 |$AX+XB+C=0$ | $(eA - f)X = E $ | |
+ | |||
+ | où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, | ||
+ | |||
+ | ==== Résolution ==== | ||
+ | |||
+ | ^ Équation ^ Solution ^ | ||
+ | |$AX+XB+C=0$ | $$X = \frac{D(\overline{eB+f})}{|eB+f|^2} | ||
+ | |||
+ | ==== Équations dégénérées ==== | ||
+ | |||
+ | Lorsque $eB-f = 0$ | ||
+ | |||
+ | Exemples: | ||
+ | |||
+ | | $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ | ||
+ | | $e_1 X + X e_1 = 0$ | a une infinité de solutions de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ | | ||
===== Preuves ===== | ===== Preuves ===== | ||
+ | |||
+ | ==== red-1 ==== | ||
À partir de $AX+XB+C=0$, | À partir de $AX+XB+C=0$, | ||
Line 29: | Line 45: | ||
Par addition on obtient | Par addition on obtient | ||
$$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ | $$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ | ||
- | d' | + | $$\to X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ |
- | $$X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ | + | $$\to X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ |
- | d'où | + | $$\to X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ |
- | $$X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ | + | qu'on écrit |
- | et donc | + | $$X(eB+f)=D$$ |
- | $$X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ | + | |
+ | ==== red-2 ==== | ||
À partir de $AX+XB+C=0$, | À partir de $AX+XB+C=0$, | ||
Line 47: | Line 63: | ||
$$ \to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$ | $$ \to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$ | ||
- | $$ \to (eA - f)X = D'$$ | + | $$ \to (eA - f)X = E$$ |
quaternions/equations-degre-1.1596489532.txt.gz · Last modified: 2023/11/01 14:43 (external edit)