quaternions:definitionsb
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quaternions:definitionsb [2020/08/03 11:31] – [Preuves] admin | quaternions:definitionsb [2020/08/06 22:37] – [Formules de structure] admin | ||
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====== Biquaternions ====== | ====== Biquaternions ====== | ||
- | Un **biquaternion** est un élément de l' | + | Un **biquaternion** est un élément de l' |
Un biquaternion $Z$ peut s' | Un biquaternion $Z$ peut s' | ||
+ | La grande nouveauté par rapport aux quaternion est qu'il existe des diviseurs de zéro qui nécessitent usuellement un traitement spécial ; parce qu'ils n'ont pas d' | ||
+ | |||
+ | Par exemple: $(1 + i e_3) (1 – i e_3) = 0$. | ||
+ | |||
+ | Ces diviseurs non nuls de zéro sont dit des **biquaternions singuliers**; | ||
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+ | Alors que beaucoup des formules pour les quaternions restent utilisables pour les biquaternions inversibles, | ||
===== Opérations ===== | ===== Opérations ===== | ||
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^ ID ^ Condition ^ Structure ^ | ^ ID ^ Condition ^ Structure ^ | ||
- | |(S1)| $Z \in \mathbb{B} - \{0\}$ et $|Z| = 0$ | + | |(S1)| $Z \in \mathbb{B}$ | $\forall |
- | |(S2)| $Z \in \mathbb{B}$ | $\forall | + | |(S2)| $Z \in \mathbb{B} - \{0\}$ et $|Z| = 0$ |
$\vec{\hat{\mathbb{H}}}$ désigne l' | $\vec{\hat{\mathbb{H}}}$ désigne l' | ||
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===== Preuves ===== | ===== Preuves ===== | ||
- | **(S1)** On peut toujours écrire $Z$ comme $A(1+iX)$ avec $A$, $X$ dans $\mathbb{H}$ et $A \ne 0$. | + | ==== (S1) ==== |
- | Donc $|Z|^{2}=|A|^{2}(1+2i\mathbb{S}(X)-|X|^{2})$ | + | |
- | car $|1+iX|^2 = (1 +iX)\overline{(1 +iX)} = (1 +iX)(1 +i\overline{X}) = 1 +iX +i\overline{X} -|X|^2$ $= 1 +2i\mathbb{S}(X) + |X|^2$. | + | On peut toujours écrire $Z$ comme $A(1+iX)$ avec $A$, $X$ dans $\mathbb{H}$ et $A \ne 0$. |
- | Cette expression est nulle si et seulement si $|X|^{2}=1$ et $\mathbb{S}(X)=0$. Donc $Z=q(1+i\vec{u})$ ou $(1+i\vec{v})q$ (avec $\vec{v}=q\vec{u}q^{-1}$ ) | + | Donc $|Z|^{2}$ $=|A|^2|1+iX|^2 $ $= |A|^2(1 +iX)\overline{(1 +iX)}$ $ = |A|^2(1 +iX)(1 +i\overline{X}) |
+ | |||
+ | Cette expression est nulle si et seulement si $|X|^{2}=1$ et $\mathbb{S}(X)=0$. Donc $Z=A(1+i\vec{u})$ avec $\vec{u}\in\vec{\hat{\mathbb{H}}}$ ou bien $Z=(1+i\vec{v})A$ (avec $\vec{v}=A\vec{u}A^{-1}$ ) | ||
Si on calcule $(1+i\vec{u})^{2}$ on trouve $2(1+i\vec{u})$ donc $1/ | Si on calcule $(1+i\vec{u})^{2}$ on trouve $2(1+i\vec{u})$ donc $1/ | ||
On peut également voir que $\overline{\sigma}$ est aussi idempotent. On a donc deux projecteurs orthogonaux. | On peut également voir que $\overline{\sigma}$ est aussi idempotent. On a donc deux projecteurs orthogonaux. | ||
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+ | ==== (S2) ==== | ||
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+ | Soit $Z=A+iB$. Calculons $Z\sigma=(A+iB)(1+i\vec{u})/ | ||
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+ | $$=A(1+i\vec{u})/ | ||
+ | $$=A(1+i\vec{u})/ | ||
+ | $$=(A-B\vec{u})\sigma Q_{1}\sigma.$$ | ||
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+ | De même $Z\overline{\sigma}=(A+B\vec{u})\overline{\sigma}=Q_{2}\overline{\sigma}$ | ||
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+ | Comme $\sigma+\overline{\sigma}=1$ on a bien $Z=Z\sigma+Z\overline{\sigma}=Q_{1}\sigma+Q_{2}\overline{\sigma}$ . | ||
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