Étant donné $Q$ on cherche $\sqrt{Q} := P$ tel que $P^{2}=Q$.
On a les solutions \[ \sqrt{Q}=\sqrt{-\mathbb{S}(Q)}\vec{u} \] où $\vec{u}$ est n'importe quel quaternion purement vectoriel de norme 1.
\[ \sqrt{Q} = \sqrt{\frac{\mathbb{S}(Q)+|Q|}{2}}+\frac{\mathbb{V}(Q)}{2\sqrt{\frac{\mathbb{S}(Q)+|Q|}{2}}} \]
Une équation du 2e degré est de la forme \[ Q^{2}+\mathcal{L}[Q]+B=0 \] où $\mathcal{L}$ est une fonction linéaire.