[[:quaternions|Formulaire]]
====== Équations quaternioniques du premier degré ======
===== Équations de la forme $AX + QX + C = 0$ =====
où $A,B,C,X \in \mathbb{H}$
==== Réduction à un seul terme en $X$ ====
^ ID ^ Équation ^ Équivalente à ^
| red-1 |$AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ |
| red-2 |$AX+XB+C=0$ | $(eA - f)X = E $ |
où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, $f = |A|^{2}-|B|^{2}$, $D =-\overline{A}C-CB$ , $E =-AC-C\overline{B}$ |
==== Résolution ====
^ Équation ^ Solution ^
|$AX+XB+C=0$ | $$X = \frac{D(\overline{eB+f})}{|eB+f|^2} = \frac{De\overline{B}+Df}{|eB+f|^2}$$
ou de manière équivalente
$$X = \frac{(\overline{eA-f})E}{|eA-f|^2} = \frac{e\overline{A}E-fE}{|eA-f|^2}$$ |
==== Équations dégénérées ====
Lorsque $eB-f = 0$
Exemples:
| $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ | n'a pas de solution. multiplier à gauche par $e_{1}$, puis à droite par $e_{2}$, additionner $ \to 0=e_{1}+e_{2}$ |
| $e_1 X + X e_1 = 0$ | a une infinité de solutions de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ |
===== Preuves =====
==== red-1 ====
À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{A}$ à gauche on obtient
$$|A|^{2}X+\overline{A}XB+\overline{A}C=0.$$
Si on multiplie à droite par $B$ on obtient
$$AXB+XB^{2}+CB=0.$$
Par addition on obtient
$$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$
$$\to X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
$$\to X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
$$\to X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$
qu'on écrit
$$X(eB+f)=D$$
==== red-2 ====
À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{B}$ à droite on obtient
$$AX\overline{B}+X|B|^2+C\overline{B}=0.$$
Si on multiplie à gauche par $A$ on obtient
$$A^2X+AXB+AC=0.$$
Par addition on obtient
$$2\mathbb{S}(B)AX+(A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$
$$ \to (2\mathbb{S}(B)A+A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$
$$ \to (2\mathbb{S}(B)A+2\mathbb{S}(A)A-|A|^2 + |B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$
$$ \to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$
$$ \to (eA - f)X = E$$