Un fonction linéaire quaternionnique est une fonction $f$ sur $\mathbb{H}$ qui satisfait

1. $f(P+Q)=f(P)+f(Q)$ 2. $f(aQ)=af(Q)\:(a\in\mathbb{R})$

Il est clair que toute fonction de la forme $f(Q)=\sum_{p=1}^{n}A_{p}QB_{p}$ est linéaire.

Toute fonction linéaire $f$ peut s'écrire sous chacune des formes suivantes

• $f(Q)=\sum_{i=0}^{3}A_{i}Qe_{i}$
• $f(Q)=\sum_{i=0}^{3}e_{i}Q\overline{B_{i}}$
• $f(Q)=\sum_{i=0}^{3}\mathbb{S}(C_{i}Q)e_{i}$
• $f(Q)=\sum_{i=0}^{3}\mathbb{S}(e_{i}Q)D_{i}$

Il y a un isomorphisme entre les fonctions linéaires de la forme $L_{A}(.)=\sum_{n=0}^{3}A_{n}(.)\overline{e_{n}}$ munies de l'opération de composition et les matrice $2\times2$ sur $\mathbb{B}$ de la forme $$M_{A}=\begin{pmatrix}A_{0}+iA_{3} & A_{1}+iA_{2}\\ -A_{1}+iA_{2} & A_{0}-iA_{3} \end{pmatrix}$$