Un fonction linéaire quaternionnique est une fonction $f$ sur $\mathbb{H}$ qui satisfait

1. $f(P+Q)=f(P)+f(Q)$
2. $f(aQ)=af(Q)\:(a\in\mathbb{R})$

Il est clair que toute fonction de la forme $f(Q)=\sum_{p=1}^{n}A_{p}QB_{p}$ est linéaire.

Toute fonction linéaire $f$ peut s'écrire sous chacune des formes suivantes

• $f(Q)=\sum_{i=0}^{3}A_{i}Qe_{i}$
• $f(Q)=\sum_{i=0}^{3}e_{i}Q\overline{B_{i}}$
• $f(Q)=\sum_{i=0}^{3}\mathbb{S}(C_{i}Q)e_{i}$
• $f(Q)=\sum_{i=0}^{3}\mathbb{S}(e_{i}Q)D_{i}$

Il y a un isomorphisme entre les fonctions linéaires de la forme $L_{A}(.)=\sum_{n=0}^{3}A_{n}(.)\overline{e_{n}}$ munies de l'opération de composition et les matrice $2\times2$ sur $\mathbb{B}$ de la forme $$M_{A}=\begin{pmatrix}A_{0}+iA_{3} & A_{1}+iA_{2}\\ -A_{1}+iA_{2} & A_{0}-iA_{3} \end{pmatrix}$$

Si $Q=q_{0}e_{0}+\ldots+q_{3}e_{3}$, par linéarité de $f$ on a: $f(Q)=q_{0}f(e_{0})+\ldots+q_{3}f(e_{3})$.

De plus on a

1. $q_{0}=\mathbb{S}(Q)=\frac{1}{2}(Q+\overline{Q})=\frac{1}{2}\left(Q+-\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{3}e_{j}Qe_{j}\right)$ (par [eq:conj-sum])

2. $q_{i}=\mathbb{S}(Q\overline{e_{i}})=\frac{1}{2}(-Qe_{i}-\overline{e_{i}}\overline{Q})=\frac{1}{2}(-Qe_{i}+e_{i}\overline{Q})\;(1\le i\le3)$ et donc $q_{i}=\frac{1}{2}\left(-Qe_{i}+e_{i}\left(-\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{3}e_{j}Qe_{j})\right)\right)\;(1\le i\le3)$

Donc tous les $q_{k}f(e_{k})$ de $f(Q)$ sont des sommes de termes de la forme $ae_{i}QF$ où $a\in\mathbb{R}$, $F\in\mathbb{H}$. En regroupant les termes par unité $e_{i}$ et en passant le $a$ à droite on obtient bien la forme $\sum_{j=0}^{3}e_{j}QB_{j}$.