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Équations quaternioniques du premier degré
Équations de la forme $AX + QX + C = 0$
où $A,B,C,X \in \mathbb{H}$
Réduction à un seul terme en $X$
| ID | Équation | Équivalente à |
|---|---|---|
| red-1 | $AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ |
| red-2 | $AX+XB+C=0$ | $(eA - f)X = E $ |
où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, $f = |A|^{2}-|B|^{2}$, $D =-\overline{A}C-CB$ , $E =-AC-C\overline{B}$ |
On résout ensuite en post-multipliant par $(eB + f)^{-1}$ (resp. en pré-multipliant par $(eA - f)^{-1}$) si ces termes sont non nuls.
Équations dégénérées
Lorsque $eB+f = 0$
Exemples:
| ex-1 | $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ | n'a pas de solution. $-X + e_1Xe_2 + e_1 e_3 = 0$ (mult. à gauche par $e_1$ $+ e_1Xe_2 -X +e_3 e_2 = 0$ (mult. à droite par $e_2$) $-e_2 + e_1 = 0$ (soustraction) contradiction |
| ex-2 | $e_1 X + X e_1 = 0$ | a une infinité de solutions. En résolvant par composantes on trouve $x_0 = 0$ et $x_1 = 0 $ donc tout quaternion de la forme $x_2 e_2 + x_3 e_3$ est solution |
Preuves
red-1
À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{A}$ à gauche on obtient $$|A|^{2}X+\overline{A}XB+\overline{A}C=0.$$ Si on multiplie à droite par $B$ on obtient $$AXB+XB^{2}+CB=0.$$ Par addition on obtient $$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ $$\to X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ $$\to X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ $$\to X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ qu'on écrit $$X(eB+f)=D$$
red-2
À partir de $$AX+XB+C=0,$$ si on multiplie par $\overline{B}$ à droite on obtient $$AX\overline{B}+X|B|^2+C\overline{B}=0.$$ Si on multiplie à gauche par $A$ on obtient $$A^2X+AXB+AC=0.$$ Par addition on obtient $$2\mathbb{S}(B)AX+(A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$ $$ \to (2\mathbb{S}(B)A+A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$ $$ \to (2\mathbb{S}(B)A+2\mathbb{S}(A)A-|A|^2 + |B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$ $$ \to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$
$$ \to (eA - f)X = E$$
ex-1
À partir de $$e_1X +Xe_2 + e_3 = 0$$ En multipliant à gauche par $e_1$ on obtient $$-X + e_1Xe_2 + e_1 e_3 = 0.$$ En multipliant à droite par $e_2$ on obtient $$+ e_1Xe_2 -X +e_3 e_2 = 0.$$ Soustration et $e_1 e_3 = -e_2$ et $e_3 e_2 = -e_1$ $$-e_2 + e_1 = 0$$ Incohérent, pas de solution
ex-2
On résoutd $e_1X + Xe_1 = 0$ par composantes, en posant $X = q_0 + q_1e_1 + q_2e_2 + q_3e_3$.
En développant on obtient $$ e_1q_0 + q_1(-1) + q_2e_3 + q_3(-e_2) + q_0e_1 + q_1(-1) +q_2(-e_3) + q_3e2 = 0 $$ équivalent à $$ 2q_0e_1 - 2q_1 = 0.$$ Ce qui implique $q_0 = q_1 = 0$.
Donc tout quaternion de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ est solution.