Une équations quaternioniques du premier degré est une équation de la forme

$$AX + QX + C = 0$$

où $A,B,C,X \in \mathbb{H}$

$$\begin{array}{rcl} AX+XB+C=0 & \leftrightarrow & X(2\mathbb{S}(A+B)B+\left|A\right|^{2}-\left|B\right|^{2})=-\bar{A}C-CB \\ & \leftrightarrow & (2\mathbb{S}(A+B)A+\left|B\right|^{2}-\left|A\right|^{2})X=-AC-C\bar{B}\\ \end{array}$$

À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{A}$ à gauche on obtient $$|A|^{2}X+\overline{A}XB+\overline{A}C=0.$$ Si on multiplie à droite par $B$ on obtient $$AXB+XB^{2}+CB=0.$$ Par addition on obtient $$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ d'où $$X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ d'où $$X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ et donc $$X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$

À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{B}$ à droite on obtient $$AX\overline{B}+X|B|^2+C\overline{B}=0.$$ Si on multiplie à gauche par $A$ on obtient $$A^2X+AXB+AC=0.$$ Par addition on obtient $$2\mathbb{S}(B)AX+(A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$ $$\to (2\mathbb{S}(B)A+A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$ $$\to (2\mathbb{S}(B)A+2\mathbb{S}(A)A-|A|^2 + |B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$ $$\to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$

$$\to (eA - f)X = D'$$