quaternions:equations-degre-1
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Line 8: | Line 8: | ||
- | ^ Équation ^ Équivalente à ^ | + | ^ ID ^ Équation ^ Équivalente à ^ |
- | |$AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ | | + | | red-1 |$AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ | |
- | | ::: | + | | red-2 |$AX+XB+C=0$ |
où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, | où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, | ||
Line 26: | Line 26: | ||
| $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ | n'a pas de solution. multiplier à gauche par $e_{1}$, puis à droite par $e_{2}$, additionner $ \to 0=e_{1}+e_{2}$ | | | $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ | n'a pas de solution. multiplier à gauche par $e_{1}$, puis à droite par $e_{2}$, additionner $ \to 0=e_{1}+e_{2}$ | | ||
- | | e_1 X + X e_1 = 0 | a une infinité de solutions de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ | | + | | $e_1 X + X e_1 = 0$ | a une infinité de solutions de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ | |
===== Preuves ===== | ===== Preuves ===== | ||
+ | |||
+ | ==== red-1 ==== | ||
À partir de $AX+XB+C=0$, | À partir de $AX+XB+C=0$, | ||
Line 37: | Line 39: | ||
Par addition on obtient | Par addition on obtient | ||
$$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ | $$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ | ||
- | d' | + | $$\to X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ |
- | $$X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ | + | $$\to X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ |
- | d'où | + | $$\to X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ |
- | $$X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ | + | |
- | et donc | + | |
- | $$X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ | + | |
qu'on écrit | qu'on écrit | ||
$$X(eB+f)=D$$ | $$X(eB+f)=D$$ | ||
+ | ==== red-2 ==== | ||
À partir de $AX+XB+C=0$, | À partir de $AX+XB+C=0$, | ||
Line 57: | Line 57: | ||
$$ \to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$ | $$ \to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$ | ||
- | $$ \to (eA - f)X = D'$$ | + | $$ \to (eA - f)X = E$$ |
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