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--- quaternions:equations-degre-1 [2020/08/04 14:34] – [Équations sans solutions] admin
+++ quaternions:equations-degre-1 [2020/08/04 19:21] – [Réduction à un seul terme en $X$] admin
@@ Line 8: / Line 8: @@
-^ Équation ^ Équivalente à ^
+^ ID ^ Équation ^ Équivalente à ^
-|$AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ |
+| red-1 |$AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ |
-| :::        | $(eA - f)X = E $ |
+| red-2 |$AX+XB+C=0$ | $(eA - f)X = E $ |
 où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, $f = |A|^{2}-|B|^{2}$, $D =-\overline{A}C-CB$ , $E =-AC-C\overline{B}$ |
@@ Line 26: / Line 26: @@
 | $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ | n'a pas de solution. multiplier à gauche par $e_{1}$, puis à droite par $e_{2}$, additionner $ \to 0=e_{1}+e_{2}$ |
-| e_1 X + X e_1 = 0 | a une infinité de solutions de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ |
+| $e_1 X + X e_1 = 0$ | a une infinité de solutions de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ |
 ===== Preuves =====
+==== red-1 ====
 À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{A}$ à gauche on obtient
@@ Line 37: / Line 39: @@
 Par addition on obtient
 $$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$
-d'où
+$$\to X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
-$$X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
+$$\to X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
-d'où
+$$\to X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$
-$$X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
-et donc
-$$X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$
 qu'on écrit
 $$X(eB+f)=D$$
+==== red-2 ====
 À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{B}$ à droite on obtient