quaternions:equations-degre-1
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quaternions:equations-degre-1 [2020/08/04 14:27] – [Résolution] admin | quaternions:equations-degre-1 [2020/08/04 19:22] – [red-2] admin | ||
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Line 8: | Line 8: | ||
- | ^ Équation ^ Équivalente à ^ | + | ^ ID ^ Équation ^ Équivalente à ^ |
- | |$AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ | | + | | red-1 |$AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ | |
- | | ::: | + | | red-2 |$AX+XB+C=0$ |
où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, | où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, | ||
Line 19: | Line 19: | ||
|$AX+XB+C=0$ | $$X = \frac{D(\overline{eB+f})}{|eB+f|^2} = \frac{De\overline{B}+Df}{|eB+f|^2}$$ < | |$AX+XB+C=0$ | $$X = \frac{D(\overline{eB+f})}{|eB+f|^2} = \frac{De\overline{B}+Df}{|eB+f|^2}$$ < | ||
- | ===== Équations | + | ==== Équations |
- | Exemple. | + | Lorsque |
- | n'a pas de solution. | + | Exemples: |
- | $$ 0=e_{1}+e_{2}$$ | + | |
+ | | $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ | n'a pas de solution. | ||
+ | | $e_1 X + X e_1 = 0$ | a une infinité de solutions de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ | | ||
===== Preuves ===== | ===== Preuves ===== | ||
+ | |||
+ | ==== red-1 ==== | ||
À partir de $AX+XB+C=0$, | À partir de $AX+XB+C=0$, | ||
Line 35: | Line 39: | ||
Par addition on obtient | Par addition on obtient | ||
$$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ | $$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ | ||
- | d' | + | $$\to X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ |
- | $$X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ | + | $$\to X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ |
- | d'où | + | $$\to X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ |
- | $$X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ | + | |
- | et donc | + | |
- | $$X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ | + | |
qu'on écrit | qu'on écrit | ||
$$X(eB+f)=D$$ | $$X(eB+f)=D$$ | ||
+ | ==== red-2 ==== | ||
À partir de $AX+XB+C=0$, | À partir de $AX+XB+C=0$, | ||
Line 55: | Line 57: | ||
$$ \to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$ | $$ \to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$ | ||
- | $$ \to (eA - f)X = D'$$ | + | $$ \to (eA - f)X = E$$ |
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