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Équations du premier degré
Une équation du premier degré est composée de termes de la forme $CX$, $XC$ ou $C$ où $X$ représente un quaternion (inconnue) et $C$ est un quaternion constant.
Réduction à un seul term en $X$
| Équation | Form équivalente |
|---|---|
| $AX + XB + C = 0$ | $(2\mathbb{S}(A+B)A+\left|B\right|^{2}-\left|A\right|^{2})X=-AC-C\bar{B}$ |
| $X(2\mathbb{S}(A+B)B+\left|A\right|^{2}-\left|B\right|^{2})=-\bar{A}C-CB$ |
La preuve consiste à multiplier à gauche par $A$ et à droite par $\overline{B}$ puis additionner et utiliser $X+\overline{X}=2\mathbb{S}(X)$).
Équation de type $e_{1}Q+Qe_{2}+e_{3}=0$
N'a pas de solution. Pour le voir, on multiplie à gauche par $e_{1}$, à droite par $e_{2}$, on soustrait et on trouve $e_1 - e_2 = 0$.
Étude de $aq+qb+c=0$
On multiplie par $\overline{a}$ à gauche : $|a|^{2}q+\overline{a}qb+\overline{a}c=0$
on multiplie à droite par $b$ : $aqb+qb^{2}+cb=0$
par addition on obtient
\[ 2S(a)qb+q(b^{2}+|a|^{2})=-\overline{a}c-cb \]
d'où
$q(b^{2}+|a|^{2}+2S(a)b)=-\overline{a}c-cb$
d'où
$q(2S(b)b-|b|^{2}+|a|^{2}+2S(a)b)=-\overline{a}c-cb$
et donc
$ q(2S(a+b)b-|b|^{2}+|a|^{2})=-\overline{a}c-cb $ qui est de la forme $q(eb+f)=d$ avec $e$ et $f$ scalaires. On extrait $q$ : $ q=d\frac{(eb+f)^{=}}{|eb+f|^{2}}=\frac{de\overline{b}+df}{|eb+f|^{2}} $
Si on procède de la même manière mais en inversant gauche et droite on obtient :
$ aq\overline{b}+q|b|^{2}+c\overline{b}=0 $
et
$ a^{2}q+aqb+ac=0 $
puis par le même procédé
$ q=\frac{(e\overline{a}-f)}{|ea-f|^{2}}g=\frac{e\overline{a}g-fg}{|ea-f|^{2}} $
En utilisant la formule \ref{eq:ab2} on montre que les dénominateurs $|eb+f|^{2}$ et $|ea-f|^{2}$ sont égaux.
$|eb+f|^{2}=|eb|^{2}+|f|^{2}+2\mathbb{S}(eb\overline{f})$
$|ea-f|^{2}=|ea|^{2}+|-f|^{2}+2\mathbb{S}(-eaf)$
soustraction
$e^{2}(|b|^{2}-|a|^{2})+2\mathbb{S}(eb\overline{f})-2\mathbb{S}(-eaf)$
$=e^{2}(|b|^{2}-|a|^{2})+2\mathbb{S}(eb\overline{f})+2\mathbb{S}(eaf)$
$=e^{2}(|b|^{2}-|a|^{2})+2ef\mathbb{S}(b+a)$
$=-e^{2}f+e^{2}f$
À partir de l'égalité des numérateurs on trouve $-f(d+g)=fec$ d'où $-d-g=ec$. Est-ce une identité remarquable ?
Autre vision de $aq+qb+c=0$ : $(a_{0}+\vec{a})q+q(b_{0}+\vec{b})+c=0$ d'où $\vec{a}q+q((a_{0}+b_{0})+\vec{b})+c=0$ et $((a_{0}+b_{0})+\vec{a})q+q\vec{b}+c=0.$ On réécrit alors le développement précédent en \[ q=\frac{d(e\vec{b}+f)}{|...|^{2}}=\frac{(e\vec{a}-f)g}{|...|^{2}} \]