Une équation du premier degré est composée de termes de la forme $CX$, $XC$ ou $C$ où $X$ représente un quaternion (inconnue) et $C$ est un quaternion constant.

Un équation $$AX + XB + C = 0$$ est équivalente à

$$(2\mathbb{S}(A+B)A+\left|B\right|^{2}-\left|A\right|^{2})X=-AC-C\bar{B}$$ ou $$X(2\mathbb{S}(A+B)B+\left|A\right|^{2}-\left|B\right|^{2})=-\bar{A}C-CB$$

\begin{proof} (il faut multiplier à gauche par $a$ et à droite par $\overline{b}$ puis additionner et utiliser $x+\overline{x}=2S(x)$). La preuve détaillée se trouve sur \url{http://cui.unige.ch/isi/icle-wiki/h:preuves} \end{proof}

\subsection*{Équation $e_{1}q+qe_{2}+e_{3}=0$}

N'a pas de solution. Pour le voir, on multiplie à gauche par $e_{1}$, à droite par $e_{2}$, en additionnant on trouve

\[ 0=e_{1}+e_{2} \]

\subsection*{Étude de $aq+qb+c=0$}

On multiplie par $\overline{a}$ à gauche : \[ |a|^{2}q+\overline{a}qb+\overline{a}c=0 \]

on multiplie à droite par $b$ : \[ aqb+qb^{2}+cb=0 \]

par addition on obtient

\[ 2S(a)qb+q(b^{2}+|a|^{2})=-\overline{a}c-cb \]

d'où

\[ q(b^{2}+|a|^{2}+2S(a)b)=-\overline{a}c-cb \]

d'où

\[ q(2S(b)b-|b|^{2}+|a|^{2}+2S(a)b)=-\overline{a}c-cb \]

et donc

\[ q(2S(a+b)b-|b|^{2}+|a|^{2})=-\overline{a}c-cb \] qui est de la forme $q(eb+f)=d$ avec $e$ et $f$ scalaires. On extrait $q$ : \[ q=d\frac{(eb+f)^{=}}{|eb+f|^{2}}=\frac{de\overline{b}+df}{|eb+f|^{2}} \]

Si on procède de la même manière mais en inversant gauche et droite on obtient :

\[ aq\overline{b}+q|b|^{2}+c\overline{b}=0 \]

et

\[ a^{2}q+aqb+ac=0 \]

puis par le même procédé

\[ q=\frac{(e\overline{a}-f)}{|ea-f|^{2}}g=\frac{e\overline{a}g-fg}{|ea-f|^{2}} \]

En utilisant la formule \ref{eq:ab2} on montre que les dénominateurs $|eb+f|^{2}$ et $|ea-f|^{2}$ sont égaux.

$|eb+f|^{2}=|eb|^{2}+|f|^{2}+2\mathbb{S}(eb\overline{f})$

$|ea-f|^{2}=|ea|^{2}+|-f|^{2}+2\mathbb{S}(-eaf)$

soustraction

$e^{2}(|b|^{2}-|a|^{2})+2\mathbb{S}(eb\overline{f})-2\mathbb{S}(-eaf)$

$=e^{2}(|b|^{2}-|a|^{2})+2\mathbb{S}(eb\overline{f})+2\mathbb{S}(eaf)$

$=e^{2}(|b|^{2}-|a|^{2})+2ef\mathbb{S}(b+a)$

$=-e^{2}f+e^{2}f$

À partir de l'égalité des numérateurs on trouve $-f(d+g)=fec$ d'où $-d-g=ec$. Est-ce une identité remarquable ?

Autre vision de $aq+qb+c=0$ : $(a_{0}+\vec{a})q+q(b_{0}+\vec{b})+c=0$ d'où $\vec{a}q+q((a_{0}+b_{0})+\vec{b})+c=0$ et $((a_{0}+b_{0})+\vec{a})q+q\vec{b}+c=0.$ On réécrit alors le développement précédent en \[ q=\frac{d(e\vec{b}+f)}{|...|^{2}}=\frac{(e\vec{a}-f)g}{|...|^{2}} \]