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--- quaternions:eq-degre-1 [2025/08/27 14:12] – [Équation de type $e_{1}Q+Qe_{2}+e_{3}=0$] admin
+++ quaternions:eq-degre-1 [2025/08/27 14:38] (current) – [Équations insolubles] admin
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 puis additionner et utiliser $X+\overline{X}=2\mathbb{S}(X)$). //
-==== Équations insolubles ====
+==== Équations particulières ====
-L'équation $$e_{1}Q+Qe_{2}+e_{3}=0$$
+=== L'équation $$e_{1}Q+Qe_{2}+e_{3}=0$$ ===
-n'a pas de solution.
+Est insoluble
 Pour le voir, on multiplie à gauche par $e_{1}$,
 à droite par $e_{2}$, on soustrait et on trouve $e_1 - e_2 = 0$.
-==== Étude de $aq+qb+c=0$ ====
-On multiplie par $\overline{a}$ à gauche :
-$|a|^{2}q+\overline{a}qb+\overline{a}c=0$
-on multiplie à droite par $b$ :
-$aqb+qb^{2}+cb=0$
-par addition on obtient
-\[
-S(a)qb+q(b^{2}+|a|^{2})=-\overline{a}c-cb
-\]
-d'où
-$q(b^{2}+|a|^{2}+2S(a)b)=-\overline{a}c-cb$
-d'où
-$q(2S(b)b-|b|^{2}+|a|^{2}+2S(a)b)=-\overline{a}c-cb$
-et donc
-$
-q(2S(a+b)b-|b|^{2}+|a|^{2})=-\overline{a}c-cb
-$
- qui est de la forme $q(eb+f)=d$ avec $e$ et $f$ scalaires. On
-extrait $q$ :
-$
-q=d\frac{(eb+f)^{=}}{|eb+f|^{2}}=\frac{de\overline{b}+df}{|eb+f|^{2}}
-$
-Si on procède de la même manière mais en inversant gauche et droite
-on obtient :
-$
-aq\overline{b}+q|b|^{2}+c\overline{b}=0
-$
-et
-$
-a^{2}q+aqb+ac=0
-$
-puis par le même procédé
-$
-q=\frac{(e\overline{a}-f)}{|ea-f|^{2}}g=\frac{e\overline{a}g-fg}{|ea-f|^{2}}
-$
-En utilisant la formule \ref{eq:ab2} on montre que les dénominateurs
-$|eb+f|^{2}$ et $|ea-f|^{2}$ sont égaux.
-$|eb+f|^{2}=|eb|^{2}+|f|^{2}+2\mathbb{S}(eb\overline{f})$
-$|ea-f|^{2}=|ea|^{2}+|-f|^{2}+2\mathbb{S}(-eaf)$
-soustraction
-$e^{2}(|b|^{2}-|a|^{2})+2\mathbb{S}(eb\overline{f})-2\mathbb{S}(-eaf)$
-$=e^{2}(|b|^{2}-|a|^{2})+2\mathbb{S}(eb\overline{f})+2\mathbb{S}(eaf)$
-$=e^{2}(|b|^{2}-|a|^{2})+2ef\mathbb{S}(b+a)$
-$=-e^{2}f+e^{2}f$
-À partir de l'égalité des numérateurs on trouve $-f(d+g)=fec$ d'où
-$-d-g=ec$. Est-ce une identité remarquable ?
-Autre vision de $aq+qb+c=0$ : $(a_{0}+\vec{a})q+q(b_{0}+\vec{b})+c=0$
-d'où $\vec{a}q+q((a_{0}+b_{0})+\vec{b})+c=0$ et $((a_{0}+b_{0})+\vec{a})q+q\vec{b}+c=0.$
-On réécrit alors le développement précédent en
-\[
-q=\frac{d(e\vec{b}+f)}{|...|^{2}}=\frac{(e\vec{a}-f)g}{|...|^{2}}
-\]