Biquaternions

Un biquaternion est un élément de l'anneau $\mathbb{B}$ qui est l'extension des complexes engendrée par les quaternioniennes $e_1, e_2, e_3$ .

Un biquaternion $Z$ peut s'écrire sous la forme $z_{0}+z_{1}e_{1}+z_{2}e_{2}+z_{3}e_{3}$ où les $z_{i}$ sont des nombres complexes. Si on regroupe les parties réelles et imaginaires des $z_{i}$ , un biquaternion peut s'écrire sous la forme $A+Bi$ où $A$ et $B$ sont des quaternions.

Opérations

Les opérations partie scalaire, partie vectorielle, addition, multiplication, conjugaison, norme, exponentielle sont définies de la même manière que pour les quaternions, en remplaçant les opérations sur les réels par leur correspondant sur les complexes.

Il y a trois opérations de conjugaison sur un biquaternion $Z = z_0 + z_1 e_1 + z_2 e_2 + z_3 e_3$ :

conjugué	$\overline{Z}$	$\mathbb{S}(Z)-\mathbb{V}(Z) = z_0 - z_1 e_1 - z_2 e_2 - z_3 e_3$
conjugué imaginaire	$Z^{*}$	$\sum z_{i}^{*}e_{i}$
conjugué hermitien	$Z^{+}$	$\overline{Z^{*}}.$

où $z_{i}^{*}$ désigne la conjugaison complexe.

Formules de structure

ID	Condition	Structure
(S1)	$Z \in \mathbb{B} - \{0\}$ et $\|Z\| = 0$	$\exists q \in \mathbb{H}, \vec{u} \in \vec{\hat{\mathbb{H}}} : Z = q\sigma_{\vec{u}}$ <html><br></html>où $\sigma_{\vec{u}}=\frac{1}{2}(1+i\vec{u})$
(S2)	$Z \in \mathbb{B}$	$\forall \vec{u}\in \vec{\hat{\mathbb{H}}} \ \exists Q_1, Q_2 \in \mathbb{H} : Z=Q_{1}\sigma_{\vec{u}}+Q_{2}\overline{\sigma_{\vec{u}}}$

$\vec{\hat{\mathbb{H}}}$ désigne l'ensemble des quaternions unitaires ( $|Q|=1$ ) purement vectoriels ( $\mathbb{S}(Q)=0$ )

Preuves

(S1) On peut toujours écrire $Z$ comme $A(1+iX)$ avec $A$ , $X$ dans $\mathbb{H}$ . Donc $|Z|^{2}=|A|^{2}(1+2i\mathbb{S}(X)-|X|^{2})$ car $|1+iX|^2 = (1 +iX)\overline{(1 +iX)} = (1 +iX)(1 +i\overline{X}) = 1 +iX +i\overline{X} -|X|^2$ $= 1 +2i\mathbb{S}(X) + |X|^2$ . Cette expression est nulle si et seulement si $|X|^{2}=1$ et $\mathbb{S}(X)=0$ . Donc $Z=q(1+i\vec{u})$ ou $(1+i\vec{v})q$ (avec $\vec{v}=q\vec{u}q^{-1}$ )

Si on calcule $(1+i\vec{u})^{2}$ on trouve $2(1+i\vec{u})$ donc $1/2(1+i\vec{u})$ est idempotent. Donc on préfère écrire les biquaternions singuliers comme $Z=q\sigma$ où $\sigma=\frac{1}{2}(1+i\vec{u})$ .

On peut également voir que $\overline{\sigma}$ est aussi idempotent. On a donc deux projecteurs orthogonaux.