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Biquaternions
Un biquaternion est un élément de l'anneau B qui est l'extension des complexes engendrée par les quaternioniennes e1,e2,e3.
Un biquaternion Z peut s'écrire sous la forme z0+z1e1+z2e2+z3e3 où les zi sont des nombres complexes. Si on regroupe les parties réelles et imaginaires des zi, un biquaternion peut s'écrire sous la forme A+Bi où A et B sont des quaternions.
Opérations
Les opérations partie scalaire, partie vectorielle, addition, multiplication, conjugaison, norme, exponentielle sont définies de la même manière que pour les quaternions, en remplaçant les opérations sur les réels par leur correspondant sur les complexes.
Il y a trois opérations de conjugaison sur un biquaternion Z=z0+z1e1+z2e2+z3e3 :
conjugué | ¯Z | S(Z)−V(Z)=z0−z1e1−z2e2−z3e3 |
conjugué imaginaire | Z∗ | ∑z∗iei |
conjugué hermitien | Z+ | ¯Z∗. |
où z∗i désigne la conjugaison complexe.
Formules de structure
ID | Condition | Structure |
---|---|---|
(S1) | Z∈B−{0} et |Z|=0 | ∃q∈H,→u∈→ˆH:Z=qσ→u <html><br></html>où σ→u=12(1+i→u) |
(S2) | Z∈B | ∀→u∈→ˆH ∃Q1,Q2∈H:Z=Q1σ→u+Q2¯σ→u |
→ˆH désigne l'ensemble des quaternions unitaires (|Q|=1) purement vectoriels (S(Q)=0)
Preuves
(S1) On peut toujours écrire Z comme A(1+iX) avec A, X dans H. Donc |Z|2=|A|2(1+2iS(X)−|X|2) car |1+iX|2=(1+iX)¯(1+iX)=(1+iX)(1+i¯X)=1+iX+i¯X−|X|2 =1+2iS(X)+|X|2. Cette expression est nulle si et seulement si |X|2=1 et S(X)=0. Donc Z=q(1+i→u) ou (1+i→v)q (avec →v=q→uq−1 )
Si on calcule (1+i→u)2 on trouve 2(1+i→u) donc 1/2(1+i→u) est idempotent. Donc on préfère écrire les biquaternions singuliers comme Z=qσ où σ=12(1+i→u).
On peut également voir que ¯σ est aussi idempotent. On a donc deux projecteurs orthogonaux.