quaternions:definitionsb
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Line 3: | Line 3: | ||
====== Biquaternions ====== | ====== Biquaternions ====== | ||
- | Un **biquaternion** est un élément de l' | + | Un **biquaternion** est un élément de l' |
Un biquaternion Z peut s' | Un biquaternion Z peut s' | ||
+ | La grande nouveauté par rapport aux quaternion est qu'il existe des diviseurs de zéro qui nécessitent usuellement un traitement spécial ; parce qu'ils n'ont pas d' | ||
+ | |||
+ | Par exemple: (1+ie3)(1–ie3)=0. | ||
+ | |||
+ | Ces diviseurs non nuls de zéro sont dit des **biquaternions singuliers**; | ||
+ | |||
+ | Alors que beaucoup des formules pour les quaternions restent utilisables pour les biquaternions inversibles, | ||
===== Opérations ===== | ===== Opérations ===== | ||
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===== Formules de structure ===== | ===== Formules de structure ===== | ||
- | ^ Condition ^ Structure ^ | + | ^ ID ^ Condition ^ Structure ^ |
- | | $|Z| = 0|\exists q \in \mathbb{H},\vec{u} \in \vec{\hat{\mathbb{H}}} : Z = q\sigma$ < | + | |(S1)| $Z \in \mathbb{B}|\forall |
- | | Z∈B | $\forall | + | |(S2)| $Z \in \mathbb{B} |
→ˆH désigne l' | →ˆH désigne l' | ||
+ | ===== Preuves ===== | ||
+ | |||
+ | ==== (S1) ==== | ||
+ | |||
+ | On peut toujours écrire Z comme A(1+iX) avec A, X dans H et A≠0. | ||
+ | Donc |Z|2 =|A|2|1+iX|2 =|A|2(1+iX)¯(1+iX) =|A|2(1+iX)(1+i¯X) =|A|2(1+iX+i¯X−|X|2) =|A|2(1+2iS(X)+|X|2). | ||
+ | |||
+ | Cette expression est nulle si et seulement si |X|2=1 et S(X)=0. Donc Z=A(1+i→u) avec →u∈→ˆH ou bien Z=(1+i→v)A (avec →v=A→uA−1 ) | ||
+ | |||
+ | Si on calcule (1+i→u)2 on trouve 2(1+i→u) donc 1/2(1+i→u) est idempotent. Donc on préfère écrire les biquaternions singuliers comme Z=qσ où σ=12(1+i→u). | ||
+ | |||
+ | On peut également voir que ¯σ est aussi idempotent. On a donc deux projecteurs orthogonaux. | ||
+ | |||
+ | ==== (S2) ==== | ||
+ | |||
+ | Soit Z=A+iB. Calculons Zσ=(A+iB)(1+i→u)/2 | ||
+ | |||
+ | =A(1+i→u)/2+iB(1+i→u)/2 | ||
+ | =A(1+i→u)/2−B→u(1+i→u)/2 | ||
+ | =(A−B→u)σQ1σ. | ||
+ | |||
+ | De même Z¯σ=(A+B→u)¯σ=Q2¯σ | ||
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+ | Comme σ+¯σ=1 on a bien Z=Zσ+Z¯σ=Q1σ+Q2¯σ . | ||
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