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Quaternions
Un quaternion est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que ${e_1}^{2}={e_2}^{2}={e_3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$.
Un quaternion $Q$ peut s'écrire sous la forme $q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ où les $q_{i}$ sont des réels.
Si un quaternion est noté par une lettre, disons $P$, ses composantes seront en général notées $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}$.
La partie scalaire d'un quaternion $Q = q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$, notée $\mathbb{S}(Q)$, est le nombre réel $q_0$.
La partie vectorielle d'un quaternion $Q = q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$, notée $\mathbb{V}(Q)$ ou $\vec{Q}$, est le quaternion $q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$.
Remarque cruciale
En employant les symboles $e_{1},e_{2},e_{3}$ pour désigner les unités quaterniques habituellement notées $i,j,k$ on évite toute confusion entre le $i$ des quaternions et celui des complexes.
Mais surtout, si on définit $e_{0}:=1$, une formule telle que $q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k$ pourra s'écrire sous la forme compacte $\sum_{i=0}^{3}q_i e_{i}$, voire $q_{i}e_{i}$ si on utilise la convention d'Einstein.
L'expérience montre que cette manière de noter les unités simplifie considérablement les calculs, et réduit par conséquent les risques d'erreur.
Propriétés des unités quaternioniennes
| Transformation | Formule |
|---|---|
| 1,2 $\to$ 3 | $e_1 e_2 = e_3$ |
| 2,3 $\to$ 1 | $e_2 e_3 = e_1$ |
| 3,1 $\to$ 2 | $e_3 e_1 = e_2$ |
| anti-symétrie | $e_i e_j = -e_j e_i$ $\quad i,j \in \{1,2,3 \}$ et $i \ne j$ |
Opérations et fonctions de base
Pour des quaternions $Q=q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ et $P=p_{0}+p_{1}e_{1}+p_{2}e_{2}+p_{3}e_{3}$ on définira
| Opération | Notation | Définition |
|---|---|---|
| conjugué quaternionien | $\overline{Q}$ | $\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(Q) = q_0 -q_1 e_1 - q_2 e_2 - q_3 e_3$ |
| addition | $P+Q$ | $\sum(p_{i}+q_{i})e_{i}$ |
| multiplication | $PQ$ | $\sum_{i,j}(p_{i}q_{j})e_{i}e_{j}$ |
| norme | $|Q|$ | $\sqrt{Q\overline{Q}} =\sqrt{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}$ |
| exponentielle | $\exp(Q)$ | $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{Q^{n}}{n!}$ |
Identités remarquables et calculs
| Opération | Formule |
|---|---|
| extraction de la partie scalaire | $\mathbb{S}(Q)=\frac{1}{2}(Q+\overline{Q})$ |
| extraction de la partie vectorielle | $\mathbb{V}(Q)=\frac{1}{2}(Q-\overline{Q})$ |
| détermination d'un $q_n$ | $q_{n}=\mathbb{S}(Q\overline{e_{n}})$ |
| multiplication | $PQ=\mathbb{S}(P)\mathbb{S}(Q)-\mathbb{V}(P)\cdot\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(P)\mathbb{V}(Q)+\mathbb{S}(Q)\mathbb{V}(P)+\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q)$ où $\cdot$ est le produit scalaire et $\wedge$ le produit vectoriel de $\mathbb{R}^3$ |
| $PQ=p_{0}q_{0}-\vec{P}\cdot\vec{Q}+p_{0}\vec{Q}+q_{0}\vec{P}+\vec{P}\wedge\vec{Q}$ | |
| carré | $Q^{2}=2\mathbb{S}(Q)Q-\left|Q\right|^{2}$ |
| si $Q=\vec{V}$ est purement vectoriel) | $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$ |
| non commutativité | $ QP = PQ - 2(\mathbb{V}(P)\wedge\mathbb{V}(Q))$ |
| $ QP = PQ - 2\mathbb{V}(P)\mathbb{V}(Q) - 2\mathbb{V}(P) \cdot \mathbb{V}(Q)$ | |
| $e_iQ = Q\overline{e_i} = -Qe_i \quad i=1,2,3$ | |
| conjugaisons | $\overline{(\overline{Q})}=Q$ |
| $\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$ | |
| $\overline{PQ}=\overline{Q}\ \overline{P}$ | |
| conjugaison à l'aide des unités | $\overline{Q}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{3}{e_{n}Qe_{n}}\text{}$ |
| partie scalaire | $\mathbb{S}(Q) = -\frac{1}{4}\sum_{n=0}^3{e_n Q \overline{e_n}}$ que l'on peut ensuite combiner avec la détermination des $q_n$ |
| norme | $\left|Q\right|=\sqrt{q_{0}^{2}+|\vec{Q}|^{2}}$ |
| $|e_i| = 1 \quad (i=0,3)$ | |
| $|P+Q]^{2}=|P|^{2}+|Q|^{2}+2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ | |
| $|PQ| = |P||Q|$ | |
| inversion ($Q$ non nul) | $Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{\left|Q\right|^{2}}=\frac{1}{q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}\ \overline{Q}$ |
| inversion des unités | $e_i^{-1} = \overline{e_i} \qquad i=0,...,3$ |
| inversion et conjugaison | $\overline{Q^{-1}}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ |
| $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ | |
| $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $ | |
| exponentiation | $\exp(Q)=e^{\mathbb{S}(Q)}\left(\cos(|\mathbb{V}(Q)|)+\frac{\mathbb{V}(Q)}{|\mathbb{V}(Q)|}\sin(|\mathbb{V}(Q)|)\right) $ $\to$ Preuve |
Autres Représentations
Matrices
La fonction $$Q \mapsto \left(\begin{array}{cc} q_{0}+iq_{1} & q_{2}+iq_{3}\\ -q_{2}+iq_{3} & q_{0}-iq_{1} \end{array}\right)$$
est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2,\mathbb{C}) $. Autrement dit, on peut représenter tout quaternion par une matrice $2 \times 2$ complexe de la forme ci-dessus. Les physiciens auraient tendance à préférer le forme $$Q \mapsto \left(\begin{array}{cc} q_{0}+iq_3 & q_1+iq_2\\ -q_1+iq_2 & q_{0}-iq_3 \end{array}\right)$$
- l'addition et la multiplication quaternioniennes correspondent à l'addition et à la multiplication matricielles
- la conjugaison correspond à la transposition conjugaison des matrices $2 \times 2$ complexes
Forme exponentielle
À tout quaternion $Q = q_0 + \vec{Q}$ avec $\vec{Q} \ne 0$ on peut associer a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) et colinéaire à $\vec{Q}$, noté $\vec{u}$, et $0\le\theta<2\pi$ tel que $$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$
Les transformations vers et de la forme exponentielle se calculent ainsi:
| mise sous forme exponentielle | $Q = |Q|e^{\vec{u}\theta}$ avec $\theta = \arccos(q_0/|Q|)$, $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|\sin\theta)$ $\to$ Preuve | Si $\vec{Q} = 0$ alors $\vec{u}$ peut être choisi arbitrairement. Par exemple, $Q= –1 = e^{(2n+1)\pi \vec{u} }$ pour $n$ un entier quelconque et $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire quelconque. |
| mise sous forme de composantes | $\alpha e^{\vec{u}\theta} = \alpha (\cos\theta + \vec{u}\sin\theta$) | |
| mise sous forme scalaire $\times$ quaternion unitaire | $Q = |Q|(\cos\theta + \vec{u}\sin\theta)$ avec $\theta = \arccos(q_0/|Q|)$, $\vec{u}=\vec{Q}/(|Q|\sin\theta)$ | |
| pour un quaternion unitaire | $Q = \cos\theta + \vec{u}\sin\theta = e^{\vec{u}\theta}$ |
Rotations
Un quaternion $R = \cos(\theta/2) + \vec{u}\sin(\theta/2)$ (de norme 1) représentant un “turn”, c'est-à-dire un opérateur qui “fait tourner” vecteurs et spineurs.
L'opérateur de rotation d'un trivecteur $\vec{v}$ de $\mathbb{R}^3$ d'un angle $\theta$ autour de l'axe $\vec{u}$ s'écrit avec deux turns : $$R \vec{v} \overline{R}.$$ Pour cette raison le paramètre dans le turn s'écrit avec $\theta/2$ (et pour que l'angle de rotation du vecteur puisse être de 360°, la graduation de $\theta$ doit aller de 0° à 720°)
| quaternion utilisé pour une rotation d'angle $\theta$ autour de l'axe $\vec{u}$ (dans le sens horaire si on regarde dans la direction de $\vec{u}$) | $R = \cos(\theta/2) + \vec{u}\sin(\theta/2)$ avec $\vec{u}$ est un quaternion vectoriel unitaire |
| calcul de la rotation d'un vecteur $\vec{v}$ | $ \vec{v'} = R\vec{v}\overline{R} $ |
Décompositions 🏗️
| Scalaire * Q. Unitaire | $Q$ | $Q=s\hat{U}$ | $s=|Q|, \hat{U}=Q/|Q|$ |
| Vecteur * Q. Unitaire | $Q$, $\vec{u}$ vecteur unitaire | $Q=\vec{V}e^{\theta\vec{u}}$ $\to$ Preuve | $\theta = -\arctan\left( q_0 / (\vec{q} \cdot \vec{u}) \right) $ $\vec{V} = Q e^{-\theta \vec{u}}$ |
Preuves
Preuve. Expression de l'exponentielle
Soit $Q = s + \vec{v}$ ou $s = \mathbb{S}(Q)$ et $\vec{v} = \mathbb{V}({Q})$.
On veut prouver : \[ \exp(Q) = \exp(s) \left( \cos(|\vec{v}|) + \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \sin(|\vec{v}|) \right). \] Note: Si \( \vec{v} = \vec{0} \), alors \( \exp(Q) = \exp(s) \), ce qui est consistant avec la limite \( |\vec{v}| \to 0 \).
L'exponentielle est définie par \[ \exp(Q) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{Q^k}{k!}. \]
Propriété importante d'un quaternion purement vectoriel $\vec{v}$ :
\[ \vec{v}^2 = -|\vec{v}|^2 .\] (Provient de la formule de multiplication: \( \vec{v}_1 \vec{v}_2 = -\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 + \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 \), donc \( \vec{v}^2 = -|\vec{v}|^2 \).)
Comme \( s \) est scalaire et \( \vec{v} \) est vectoriel ils commutent \( s \vec{v} = \vec{v} s \).
Donc on peut factoriser l'exponentielle selon la formule habituelle \[ \exp(Q) = \exp(s + \vec{v}) = \exp(s) \exp(\vec{v}). \]
Nous devons donc calculer \( \exp(\vec{v}) \).
Soit \( \vec{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \), de sorte que \( \vec{u} \) soit un vecteur unitaire et \( \vec{v} = |\vec{v}| \vec{u} \). Alors, on a : \[ \exp(\vec{v}) = \exp(|\vec{v}| \vec{u}). \] Maintenant, notons que \( \vec{u} \) est un quaternion pur unitaire, donc \( \vec{u}^2 = -1 \).
En utilisant la série entière : \[ \exp(|\vec{v}| \vec{u}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(|\vec{v}| \vec{u})^k}{k!}. \]
On sépare les puissances paires et impaires dans la série:
- Pour \( k = 2m \) pair : \[(|\vec{v}| \vec{u})^{2m} = (|\vec{v}|^{2m} (\vec{u}^{2})^m = (|\vec{v}|^{2m} (-1)^m = (-1)^m |\vec{v}|^{2m}.\] - Pour les puissances impaires \( k = 2m+1 \): \[(|\vec{v}| \vec{u})^{2m+1} = |\vec{v}|^{2m+1} \vec{u} (\vec{u}^2)^m = |\vec{v}|^{2m+1} \vec{u} (-1)^m.\]
Par conséquent : \[ \exp(|\vec{v}| \vec{u}) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m}}{(2m)!} + \vec{u} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m+1}}{(2m+1)!}. \] On reconnait la série de Taylor pour le cosinus et le sinus : \[ \cos(|\vec{v}|) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m}}{(2m)!}, \quad \sin(|\vec{v}|) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m |\vec{v}|^{2m+1}}{(2m+1)!}. \] Ainsi, \[ \exp(\vec{v}) = \exp(|\vec{v}| \vec{u}) = \cos(|\vec{v}|) + \vec{u} \sin(|\vec{v}|) = \cos(|\vec{v}|) + \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\sin(|\vec{v}|) \]
Comme \( \exp(Q) = \exp(s) \exp(\vec{v}) \), on a: \[ \exp(Q) = \exp(s) \left( \cos(|\vec{v}|) + \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \sin(|\vec{v}|) \right). \]
$\square$
Preuve. Mise sous forme exponentielle
C'est en fait un corollaire du résultat précédent.
On cherche $s, \vec{u}, \theta$ tels que $Q = se^{\vec{u}\theta}$ avec $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire.
Par le résultat précédent $$se^{\vec{u}\theta} = s e^{\mathbb{S}( \vec{u}\theta ) } \left( \cos(|\vec{u}\theta|) + \frac{\vec{u}\theta}{|\vec{u}\theta|}\sin(|\vec{u}\theta|) \right) $$
Comme $\vec{u}\theta$ est purement vectoriel et $|\vec{u}| = 1$ on obtient
$$se^{\vec{u}\theta} = s \left( \cos(\theta) + \vec{u} \sin(\theta) \right) $$
Par égalité des parties scalaires et vectorielles on doit donc avoir
$$\begin{array}{rcl} \mathbb{S}(Q) & = & s \cos(\theta) \\ \mathbb{V}(Q) & = & s \vec{u} \sin(\theta) \end{array}$$
d'où $$\theta = \arccos \left( \frac{\mathbb{S}(Q)}{s} \right) \text{ et } \vec{u} = \frac{\mathbb{V}(S)}{s\sin(\theta)} $$
D'autre part, en utilisant $|P+Q|^2 = |P|^2 + |Q|^2 +2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ on trouve $$ | \cos(\theta) + \vec{u} \sin(\theta) | = 1 $$ D'où, à partir de $Q = s \left( \cos(\theta) + \vec{u} \sin(\theta) \right) $, on obtient, en prenant la norme à gauche et à droite : $$s = |Q|$$.
$\square$
Preuve. Décomposition Vecteur * Unitaire
Étant donnés un quaternion $Q$ et quaternion vectoriel unitaire $\vec{u}$, on doit trouver $\vec{V}$ et $\theta$ tels que $$Q = \vec{V}e^{\theta \vec{u}}$$ En multipliant à droite par $e^{-\theta \vec{u}}$ on obient $$\vec{V}=Q e^{-\theta \vec{u}}$$ La partie scalaire de $\vec{V}$ doit être nulle donc $$\mathbb{S}\left( Q e^{-\theta \vec{u}} \right) =\mathbb{S}\left( \left( \sum{q_i e_i} \right)(\cos(-\theta)+\vec{u}\sin(-\theta)) \right) = 0$$ donc $$q_0\cos(-\theta) - (q_1 u_1 + q_2 u_2 + q_3 u_3)\sin(-\theta) = 0$$ d’où (en divisant par $\cos(-\theta)$ $$q_0= (q_1 u_1 + q_2 u_2 + q_3 u_3)\tan(-\theta)$$ et enfin $$\theta = -\arctan\left( \frac{q_0}{q_1 u_1 + q_2 u_2 + q_3 u_3} \right) = -\arctan\left( \frac{q_0}{\vec{q}\cdot\vec{u}} \right)$$