quaternions:definitions
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====== Quaternions ====== | ====== Quaternions ====== | ||
- | Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l' | + | Un **quaternion** est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l' |
Un quaternion $Q$ peut s' | Un quaternion $Q$ peut s' | ||
Line 46: | Line 46: | ||
| carré | | carré | ||
| si $Q=\vec{V}$ est purement vectoriel) | $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$ | | si $Q=\vec{V}$ est purement vectoriel) | $\vec{V}^{2}=-\left|\vec{V}\right|^{2}$ | ||
- | | non commutativité | + | | non commutativité |
+ | | | $ QP = PQ - 2\mathbb{V}(P)\mathbb{V}(Q) - 2\mathbb{V}(P) \cdot \mathbb{V}(Q)$ | | ||
| conjugaisons | | conjugaisons | ||
| ::: | $\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$ | | | ::: | $\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}$ | | ||
| ::: | $\overline{PQ}=\overline{Q}\ \overline{P}$ | | | ::: | $\overline{PQ}=\overline{Q}\ \overline{P}$ | | ||
| conjugaison à l'aide des unités | | conjugaison à l'aide des unités | ||
- | | partie scalaire | + | | partie scalaire |
| norme | $\left|Q\right|=\sqrt{q_{0}^{2}+|\vec{Q}|^{2}}$ | | | norme | $\left|Q\right|=\sqrt{q_{0}^{2}+|\vec{Q}|^{2}}$ | | ||
| ::: | $|P+Q]^{2}=|P|^{2}+|Q|^{2}+2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ | | | ::: | $|P+Q]^{2}=|P|^{2}+|Q|^{2}+2\mathbb{S}(P\overline{Q})$ | | ||
Line 59: | Line 60: | ||
| ::: | $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ | | | ::: | $\overline{Q}^{-1}=\frac{Q}{\left|Q\right|^{2}}$ | | ||
| ::: | $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $ | | | ::: | $\left(PQ\right)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} $ | | ||
- | | exponentiation | + | | < |
Line 71: | Line 72: | ||
\end{array}\right)$$ | \end{array}\right)$$ | ||
- | est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2, | + | est un homomorphisme injectif $\mathbb{H}\to\mathrm{M}(2, |
+ | $$Q \mapsto \left(\begin{array}{cc} | ||
+ | q_{0}+iq_3 & q_1+iq_2\\ | ||
+ | -q_1+iq_2 & q_{0}-iq_3 | ||
+ | \end{array}\right)$$ | ||
- | * l' | + | * l' |
* la conjugaison correspond à la transposition conjugaison des matrices $2 \times 2$ complexes | * la conjugaison correspond à la transposition conjugaison des matrices $2 \times 2$ complexes | ||
+ | |||
+ | |||
==== Forme exponentielle ==== | ==== Forme exponentielle ==== | ||
- | Pour tout quaternion $Q$ on a un quaternion purement vectoriel et unitaire (de norme 1) $\vec{u}$ et $0\le\theta< | + | À tout quaternion $Q = q_0 + \vec{Q}$ avec $\vec{Q} \ne 0$ on peut associer |
$$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$ | $$ Q=|Q|e^{\vec{u}\theta}$$ | ||
- | et | ||
- | * $\mathbb{S}(Q)=|Q|\cos(\theta) $ | + | Les transformations vers et de la forme exponentielle se calculent ainsi: |
- | * $\mathbb{V}(Q)=\vec{u}|\mathbb{V}(Q)|=\vec{u}|Q|\sin(\theta)|$ | + | |
+ | | $Q$ | $\to$ | $|Q|e^{\vec{u}\theta}$ < | ||
+ | | $Q$ < | ||
+ | Si $\vec{Q} = 0$ alors $\vec{u}$ peut être choisi arbitrairement. Par exemple, $Q= –1 = |1| e^{(2n+1)\pi \vec{u} }$ pour $n$ un entier quelconque et $\vec{u}$ un quaternion vectoriel unitaire quelconque. | ||
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