http://isri.ch/wiki/ 2026-04-20T04:58:08+00:00 http://isri.ch/wiki/ http://isri.ch/wiki/_media/wiki:logo.png text/html 2026-02-18T17:47:57+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://isri.ch/wiki/quaternions:definitions?rev=1771436877&do=diff Formulaire Quaternions Structures algébriques Quaternions Un quaternion est un élément du corps non commutatif $\mathbb{H}$ qui est l'extension des réels engendrée par les unités $e_{1},e_{2},e_{3}$ telles que ${e_1}^{2}={e_2}^{2}={e_3}^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}=-1$. Un quaternion $Q$ peut s'écrire sous la forme $q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$ où les $q_{i}$ sont des réels.$P$$p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}$$Q = q_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}$$\mathbb{S}(Q)$$q_0$$Q = q_{0}+q_{1}e_{1}+q_… text/html 2025-09-17T13:35:04+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://isri.ch/wiki/quaternions:definitionsb?rev=1758116104&do=diff Formulaire Biquaternions Un biquaternion est un élément de l'anneau $\mathbb{B}$ qui est l'extension des nombres complexes engendrée par les quaternioniennes $e_1, e_2, e_3$. Un biquaternion $Z$ peut s'écrire sous la forme $z_{0}+z_{1}e_{1}+z_{2}e_{2}+z_{3}e_{3}$ où les $z_{i}$ sont des nombres complexes. Si on regroupe les parties réelles et imaginaires des $z_{i}$$A+Bi$$A$$B$$(1 + i e_3) (1 – i e_3) = 0$$Z = z_0 + z_1 e_1 + z_2 e_2 + z_3 e_3$$\overline{Z}$$\mathbb{S}(Z)-\mathbb{V}(Z) = z_0 … text/html 2025-08-27T12:38:53+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://isri.ch/wiki/quaternions:eq-degre-1?rev=1756298333&do=diff Équations du premier degré Une équation du premier degré est composée de termes de la forme $CX$, $XC$ ou $C$ où $X$ représente un quaternion (inconnue) et $C$ est un quaternion constant. Réduction à un seul term en $X$ Équation Form équivalente $AX + XB + C = 0$ $(2\mathbb{S}(A+B)A+\left|B\right|^{2}-\left|A\right|^{2})X=-AC-C\bar{B}$ $X(2\mathbb{S}(A+B)B+\left|A\right|^{2}-\left|B\right|^{2})=-\bar{A}C-CB$ $e_{1}$$e_{2}$$e_1 - e_2 = 0$ text/html 2025-09-09T10:04:55+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://isri.ch/wiki/quaternions:equations-degre-1?rev=1757412295&do=diff Formulaire Équations quaternioniques du premier degré Équations de la forme $AX + XB + C = 0$ où $A,B,C,X \in \mathbb{H}$ Réduction à un seul terme en $X$ Équation Équivalente à $AX+XB+C=0$ $X(eB + f) = D $ $AX+XB+C=0$ $(eA - f)X = E $ où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, $f = |A|^{2}-|B|^{2}$, $D =-\overline{A}C-CB$ , $E =-AC-C\overline{B}$ | On résout ensuite en post-multipliant par $(eB + f)^{-1}$ (resp. en pré-multipliant par $(eA - f)^{-1}$$eB+f = 0$$e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$$e_1 X + … text/html 2025-09-10T08:41:12+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://isri.ch/wiki/quaternions:equations-degre-2?rev=1757493672&do=diff Équations du 2e degré Racines carrées Étant donné $Q$ on cherche $\sqrt{Q} := P$ tel que $P^{2}=Q$. Si $Q$ est scalaire. On a les solutions \[ \sqrt{Q}=\sqrt{-\mathbb{S}(Q)}\vec{u} \] où $\vec{u}$ est n'importe quel quaternion purement vectoriel de norme 1. Sinon \[ \sqrt{Q} = \sqrt{\frac{\mathbb{S}(Q)+|Q|}{2}}+\frac{\mathbb{V}(Q)}{2\sqrt{\frac{\mathbb{S}(Q)+|Q|}{2}}} \] Équations générales Une équation du 2e degré est de la forme \[ Q^{2}+\mathcal{L}[Q]+B=0 \]$\mathcal{L}$ text/html 2025-08-27T10:20:54+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://isri.ch/wiki/quaternions:fonctions-lineaires?rev=1756290054&do=diff Formulaire Fonctions linéaires Une fonction linéaire quaternionnique est une fonction $f$ sur $\mathbb{H}$ qui satisfait * $f(P+Q)=f(P)+f(Q)$ * $f(aQ)=af(Q)\:(a\in\mathbb{R})$ Expression en fonction des $f(e_i)$ $$f(Q) = \sum_{i=0}^{3}q_i f(e_i)$$ Expression en fonction des unités quaternioniques Pour toute fonction linéaire $f$, $f(Q)$ peut s'écrire sous chacune des formes suivantes$$\sum_{i=0}^{3}A_{i}Qe_{i}$$$$\sum_{i=0}^{3}e_{i}Q\overline{B_{i}}$$$$\sum_{i=0}^{3}\mathbb{S}(C_{i}…