où $A,B,C,X \in \mathbb{H}$
| ID | Équation | Équivalente à |
|---|---|---|
| red-1 | $AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ |
| red-2 | $AX+XB+C=0$ | $(eA - f)X = E $ |
où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, $f = |A|^{2}-|B|^{2}$, $D =-\overline{A}C-CB$ , $E =-AC-C\overline{B}$ |
On résout ensuite en post-multipliant par $(eB + f)^{-1}$ (resp. en pré-multipliant par $(eA - f)^{-1}$) si ces termes sont non nuls.
Lorsque $eB+f = 0$
Exemples:
| ex-1 | $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ | Aucune solution |
| ex-2 | $e_1 X + X e_1 = 0$ | Infinité de solutions |
On suppose que $A = a_0 + \vec{a}$ et $B = b_0 + \vec{b}$
$$|A| = |B| \text{ et } a_0 = b_0$$
Tout multiple d'une rotation $X$ qui amène $\vec{a}$ sur $\vec{b}$ est une solution.
Si $\vec{a} \ne \vec{b}$ une telle rotation est donnée par
$$X = \cos(\theta/2)+\vec{u}\sin(\theta/2)$$
avec $$ \begin{array}{rcl} \vec{u} & = & \frac{\vec{a} \wedge \vec{b}}{|\vec{a} \wedge \vec{b}|} \\ cos(\theta) & = & \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \end{array} $$
Si $\vec{a} = \vec{b}$
N'importe quelle rotation autour de l'axe $\vec{a}$ est une solution. Les solutions sont donc des multiples de
$$X = \cos(\theta/2)+\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\sin(\theta/2)$$ où $\theta$ est un angle quelconque.
À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{A}$ à gauche on obtient $$|A|^{2}X+\overline{A}XB+\overline{A}C=0.$$ Si on multiplie à droite par $B$ on obtient $$AXB+XB^{2}+CB=0.$$ Par addition on obtient $$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ $$\to X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ $$\to X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$ $$\to X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$ qu'on écrit $$X(eB+f)=D$$
À partir de $$AX+XB+C=0,$$ si on multiplie par $\overline{B}$ à droite on obtient $$AX\overline{B}+X|B|^2+C\overline{B}=0.$$ Si on multiplie à gauche par $A$ on obtient $$A^2X+AXB+AC=0.$$ Par addition on obtient $$2\mathbb{S}(B)AX+(A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$ $$ \to (2\mathbb{S}(B)A+A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$ $$ \to (2\mathbb{S}(B)A+2\mathbb{S}(A)A-|A|^2 + |B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$ $$ \to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$
$$ \to (eA - f)X = E$$
À partir de $$e_1X +Xe_2 + e_3 = 0$$ En multipliant à gauche par $e_1$ on obtient $$-X + e_1Xe_2 + e_1 e_3 = 0.$$ En multipliant à droite par $e_2$ on obtient $$+ e_1Xe_2 -X +e_3 e_2 = 0.$$ Soustration et $e_1 e_3 = -e_2$ et $e_3 e_2 = -e_1$ $$-e_2 + e_1 = 0$$ Incohérent, pas de solution
On résoutd $e_1X + Xe_1 = 0$ par composantes, en posant $X = q_0 + q_1e_1 + q_2e_2 + q_3e_3$.
En développant on obtient $$ e_1q_0 + q_1(-1) + q_2e_3 + q_3(-e_2) + q_0e_1 + q_1(-1) +q_2(-e_3) + q_3e2 = 0 $$ équivalent à $$ 2q_0e_1 - 2q_1 = 0.$$ Ce qui implique $q_0 = q_1 = 0$.
Donc tout quaternion de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ est solution.