[[:quaternions|Formulaire]]

====== Équations quaternioniques du premier degré  ======



===== Équations de la forme $AX + XB + C = 0$ =====

où $A,B,C,X \in \mathbb{H}$



==== Réduction à un seul terme en $X$ ====

 
^ Équation ^ Équivalente à ^   ^
| $AX+XB+C=0$ | $X(eB + f) = D $ | [[#Preuve de $AX+XB+C=0 \leftrightarrow X(eB + f) = D $|$\to$ Preuve]] |
| $AX+XB+C=0$ | $(eA - f)X = E $ | [[#Preuve de $AX+XB+C=0 \leftrightarrow (eA - f)X = E $|$\to$ Preuve]] |

où $e = 2\mathbb{S}(A+B)$, $f = |A|^{2}-|B|^{2}$, $D =-\overline{A}C-CB$ , $E =-AC-C\overline{B}$ |

On résout ensuite en post-multipliant par $(eB + f)^{-1}$ (resp. en pré-multipliant par $(eA - f)^{-1}$) si ces termes sont non nuls.

==== Équations dégénérées ====

Lorsque $eB+f = 0$

Exemples:

^ Équation ^ Solutions ^   ^
| $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ | Aucune solution  | [[#Preuve de $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ n'a aucune solution | $\to$ Preuve]] |
| $e_1 X + X e_1 = 0$ | Infinité de solutions | [[#Preuve de $e_1 X + X e_1 = 0$ a une infinité de solutions | $\to$ Preuve]] |

===== Équations linéaires, de la forme $AX + XB = 0$ =====

On suppose que $A = a_0 + \vec{a}$ et $B = b_0 + \vec{b}$

On a :

  - $X = 0$ est toujours solution
  - Par linéarité, tout multiple d'une solution est une solution

=== Condition d'existence d'une solution non nulle : === 
$$|A| = |B| \text{ et } a_0 = b_0$$

Par linéarité, toute solution sera multiple d'une solution $X$ avec $|X|=1$ donc on se restreint aux solutions de norme 1.

Les solutions sont donc des multiples de $X$ tel que 

  - $|X|=1$
  - $XA\overline{X} = B$

En séparant les parties scalaire et vectorielles on voit que $X.\overline{X}$ doit être une rotation qui amène $\vec{a}$ sur $\vec{b}$.


=== Cas 1. $\vec{a} \ne \vec{b}$ et $\vec{a} \ne -\vec{b}$ ===

La rotation est donnée par

$$X = \cos(\theta/2)+\vec{u}\sin(\theta/2)$$

avec
$$
\begin{array}{rcl}
\vec{u} & = & \frac{\vec{a} \wedge \vec{b}}{|\vec{a} \wedge \vec{b}|} \\
cos(\theta) & = & \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
\end{array}
$$

=== Cas 2. $\vec{a} = -\vec{b}$ ===

N'importe quelle rotation d'une angle $\pi$ autour d'un vecteur perpendiculaire à $\vec{a}$ est solution. Les solutions sont les multiples de

$$X = \cos(\pi/2)+\vec{u}\sin(\pi/2) = \vec{u}$$
où $\vec{u}$ est un quaternion vectoriel unitaire tel que $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$

=== Cas 3. $\vec{a} = \vec{b}$ ===

N'importe quelle rotation autour de l'axe $\vec{a}$ est une solution. Les solutions sont donc des multiples de

$$X = \cos(\theta/2)+\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\sin(\theta/2)$$
où $\theta$ est un angle quelconque.




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===== Preuves =====

==== Preuve de $AX+XB+C=0 \leftrightarrow X(eB + f) = D $  ====

À partir de $AX+XB+C=0$, si on multiplie par $\overline{A}$ à gauche on obtient
$$|A|^{2}X+\overline{A}XB+\overline{A}C=0.$$ 
Si on multiplie à droite par $B$ on obtient
$$AXB+XB^{2}+CB=0.$$
Par addition on obtient
$$2\mathbb{S}(A)XB+X(B^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$
$$\to X(B^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
$$\to X(2\mathbb{S}(B)B-|B|^{2}+|A|^{2}+2\mathbb{S}(A)B)=-\overline{A}C-CB$$
$$\to X(2\mathbb{S}(A+B)B-|B|^{2}+|A|^{2})=-\overline{A}C-CB$$
qu'on écrit
$$X(eB+f)=D$$

$\square$

==== Preuve de $AX+XB+C=0 \leftrightarrow (eA - f)X = E $ ====

À partir de 
$$AX+XB+C=0,$$
si on multiplie par $\overline{B}$ à droite on obtient
$$AX\overline{B}+X|B|^2+C\overline{B}=0.$$ 
Si on multiplie à gauche par $A$ on obtient
$$A^2X+AXB+AC=0.$$
Par addition on obtient
$$2\mathbb{S}(B)AX+(A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$
$$ \to (2\mathbb{S}(B)A+A^{2}+|B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$
$$ \to (2\mathbb{S}(B)A+2\mathbb{S}(A)A-|A|^2 + |B|^{2})X=-AC-C\overline{B}$$
$$ \to (2\mathbb{S}(B+A)A -|A|^2 + |B|^{2})X=-\overline{A}C-CB$$

$$ \to (eA - f)X = E$$

$\square$
==== Preuve de $e_{1}X+Xe_{2}+e_{3}=0$ n'a aucune solution ====
À partir de $$e_1X +Xe_2 + e_3 = 0$$
En multipliant à gauche par $e_1$ on obtient 
$$-X + e_1Xe_2 + e_1 e_3 = 0.$$ 
En multipliant à droite par $e_2$ on obtient 
$$+ e_1Xe_2 -X +e_3 e_2 = 0.$$ 
Soustration et $e_1 e_3 = -e_2$ et $e_3 e_2 = -e_1$
$$-e_2 + e_1 = 0$$
Incohérent, pas de solution 

$\square$
==== Preuve de $e_1 X + X e_1 = 0$ a une infinité de solutions ====

On résoutd $e_1X + Xe_1 = 0$ par composantes, en posant $X = q_0 + q_1e_1 + q_2e_2 + q_3e_3$. 

En développant on obtient
$$ e_1q_0 + q_1(-1) + q_2e_3 + q_3(-e_2) + q_0e_1 + q_1(-1) +q_2(-e_3) + q_3e2 = 0 $$
équivalent à
$$ 2q_0e_1 - 2q_1 = 0.$$
Ce qui implique $q_0 = q_1 = 0$.

Donc tout quaternion de la forme $q_2 e_2 + q_3 e_3$ est solution.


$\square$